Muchas dudas sobre la representación de Lorentz

Hay una definición que$\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$representación es igual al tensor espinor

$$\psi_{a_{1}...a_{m}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}},$$ dónde $\psi_{\dot{b}}$se transforma como conjugación compleja de $\psi_{b}$. ¿Por qué suponemos que $\left( \frac{1}{2}, 0\right)$y $\left( 0, \frac{1}{2}\right)$representan espinores? Puedes pensar en ello (sin mucha teoría de grupos) de la siguiente manera.

Podemos introducir, por la analogía más cercana con el número complejo (que puede describir la rotación en un plano), conjuntos de 4 números hipercomplejos (cuaterniones) a partir de los cuales podemos construir matrices de 3 rotaciones y aumentos de Lorentz en el espacio de algunos vectores de 2 componentes, que podemos llamar espinores. A partir de dos espinores podemos construir una matriz de 2*2 que se comporta como un vector de 4 bajo transformaciones de cuaterniones.

Esto muestra que la representación no invariante más "elemental" del grupo de Lorentz son los espinores (por definición, están marcados como$\left( \frac{1}{2}, 0\right)$y$\left( 0, \frac{1}{2}\right)$, donde el segundo se transforma en complejo conjugado del primero). La representación invariante es, por supuesto, la representación escalar, que está marcada como$\left( 0 , 0\right)$, porque no tiene índices de espinor por lo que es escalar.

Como para$\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, hay una conexión entre el 4-tensor y el tensor espinor correspondiente:

$$\psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} \to \psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}} = \sigma^{\mu_{1}}_{a_{1}\dot {b}_{1}}...\sigma^{\mu_{n}}_{a_{n}\dot {b}_{n}}\psi_{\mu_{1}...\mu_{n}},$$ o $$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}} \to \psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \frac{1}{2^{n}}Tr\left( \tilde{\sigma}_{\mu_{1}}^{\dot{b}_{1}a_{1}}...\tilde{\sigma}_{\mu_{n}}^{\dot{b}_{n}a_{n}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}}\right).$$ Entonces $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$representa 4 vectores.

Pequeña adición - correspondencia entre $\left(\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$ y 4 vectores

La representación$\left(\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$se construye como

$$\left( \frac{1}{2} , 0 \right) \otimes \left( 0, \frac{1}{2} \right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) .$$ Dado que ambos $\psi_{a}, \psi_{\dot {b}}$tiene 2 componentes, un objeto $\psi_{a \dot{b}}$tiene 4 parámetros. Se puede dar como hermitano $2 \times 2$matriz. Cada $2 \times 2$matriz hermitana se puede dar en forma $$\tag 1 \psi_{a \dot {b}} = \begin{pmatrix} A_{0} + A_{3} & A_{1} - iA_{2} \\ A_{1} + iA_{2} & A_{0} - A_{3} \end{pmatrix} = A^{\mu}\sigma_{\mu}, \quad \sigma_{\mu} = (\hat{E} , \sigma )_{\mu}, \quad det (\psi ) = A_{0}^{2} - \mathbf A^{2}.$$ Un objeto $(1)$transforma bajo transformaciones específicas (matriz $\hat{S}$no es arbitrario) $$\psi {'} = \hat{S} \psi \hat{S}^{\dagger}, \quad det \hat{S} = 1 \Rightarrow det (\psi {'}) = det (\psi ) = inv$$ de la misma manera que 4-vector.

Así que no es difícil concluir que$\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$en una forma$(1)$es homomórfico a la representación habitual de 4 vectores$A_{\mu}$.

No es difícil ver que los 4 vectores$A_{\mu}$se puede extraer de$(1)$por la relación

$$A_{\mu} = \frac{1}{2}Tr(\sigma_{\mu}\psi ).$$

Recuerde que al clasificar las representaciones del grupo de Lorentz, consideramos

$$\begin{equation} \textbf{N}_{\pm} = \frac{\textbf{J} \pm i\textbf{K}}{2}, \tag{1} \end{equation}$$ dónde $\textbf{J}$es el momento angular (generador de rotación) y $\textbf{K}$es el generador de impulso. Los generadores $\textbf{J}$y $\textbf{K}$satisfacer $$\begin{equation} [J^{i},J^{j}] = i\varepsilon^{ijk} J^{k}, \tag{2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} [J^{i},K^{j}] = i\varepsilon^{ijk} K^{k}, \tag{3} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} [K^{i},K^{j}] = -i\varepsilon^{ijk} J^{k}. \tag{4} \end{equation}$$ A partir de las relaciones anteriores, se puede demostrar que cada uno de $\textbf{N}_{\pm}$satisface la "relación de conmutación del momento angular", y $\textbf{N}_{+}$y $\textbf{N}_{-}$conmutar, a saber, $$\begin{equation} [N_{\pm}^{i},N_{\pm}^{j}] = i\varepsilon^{ijk} N_{\pm}^{k} \tag{5} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} [N_{\pm}^{i},N_{\mp}^{j}] = 0. \tag{6} \end{equation}$$ Por el $(A,B)$representación del grupo de Lorentz, queremos decir que "números cuánticos de momento angular" correspondientes a $\textbf{N}_{+}$y $\textbf{N}_{-}$son $A$y $B$.

Ahora centremos nuestra atención en el generador de rotación.$\textbf{J} = \textbf{N}_{+}+\textbf{N}_{-}$. Posibles "números cuánticos de momento angular" para$\textbf{J}$están dados por la regla habitual de suma de momento angular, es decir,

$$\begin{equation} j = |A-B|, \ldots, A+B. \tag{7} \end{equation}$$ Vemos que para el $(1/2,0)$y $(0,1/2)$representaciones, el único valor posible de $j$es $1/2$, lo que significa que se comportan como un espinor bajo rotación.

Por otro lado, para el$(1/2,1/2)$representación, tenemos$j=0,1$. Así es exactamente como se comportaría un vector de Lorentz bajo rotación: los componentes espaciales (un vector de 3) corresponden a$j=1$, mientras que el componente de tiempo es invariante bajo rotación, es decir,$j=0$.

Espero que por lo anterior, lo haya persuadido de que es plausible identificar el$(1/2,1/2)$representación con el vector de Lorentz. Sin embargo, para completar el argumento, permítanme agregar algo más.

Lo que hemos visto hasta ahora no puede ser una prueba porque hay otras representaciones con exactamente una$j=0$y uno$j=1$partes: las representaciones reducibles$(0,0) \oplus (1,0)$y$(0,0) \oplus (0,1)$. Pero bajo un impulso arbitrario, el$j=0$y$j=1$partes de estas representaciones reducibles se transforman independientemente. (En realidad el$j=0$parte, procedente de$(0,0)$es invariante.) Este no puede ser el caso del vector de Lorentz, ya que los componentes de espacio y tiempo deben mezclarse bajo impulso. Así que nos quedamos solo$(1/2,1/2)$.

No me molestaré en explicar explícitamente cómo los componentes de$(1/2, 1/2)$están relacionados con los componentes de espacio y tiempo de un vector de Lorentz, como ya se hace en la excelente respuesta de Andrew McAddams.