Representación de enteros positivos por formas cuadráticas binarias

Esta es una continuación de una pregunta de ayer sobre la representación de números enteros mediante formas cuadráticas binarias con coeficientes enteros. OEIS A031363 enumera los enteros positivos de la forma X 2 + X y − y 2 que resultan ser las mismas que las de la forma 5 X 2 − y 2 . La pregunta de ayer fue cómo mostrar que los dos conjuntos son iguales, pero noté que en la página de OEIS, dice, debajo de "Fórmula:

Consiste exactamente en números en los que los primos == 2 o 3 mod 5 ocurren con exponentes pares.

Me he estado preguntando qué se necesita para probar esto, en particular si se puede demostrar por métodos elementales, ya que no conozco nada de teoría algebraica de números.

Creo que es probable que sea mucho más fácil demostrar que los números que no tienen esta forma no se pueden representar que demostrar lo contrario, así que estoy empezando con eso.

Para pag = 2 dice, no norte ≡ 2 ( modificación 4 ) puede representarse así, y es trivial comprobar que 5 X 2 − y 2 no puede ser de esta forma, ya que los únicos cuadrados ( modificación 4 ) son 0  y  1.

Para un ataque general, estoy pensando en tratar de mostrar que norte es representable si y solo si cada uno de sus factores primos es representable. Si es cierto, esto reduciría el problema a la representabilidad de los números primos. Tengo cierta confianza en la parte "si" (al menos sé que la suma de dos cuadrados multiplicada por la suma de dos cuadrados es nuevamente la suma de dos cuadrados), pero no siento nada por la parte "solo si". Desde k 2 norte es representable si y solo si norte es representable (de la forma 5 X 2 − y 2 ) , y 1 es que no necesitamos considerar poderes.

Esto no es algo que necesito para la escuela o el trabajo. Estoy jubilado ya veces hago matemáticas para divertirme; Quiero saber si este es un problema adecuado para mí, es decir, uno que ofrece una posibilidad razonable de éxito, o al menos de progreso. No estoy pidiendo una prueba; Solo quiero tener una idea del nivel de dificultad del problema.

Mmm. Tienes que sentirte bastante cómodo con el símbolo de Legendre. Todo lo demás se deriva de la clase número uno. Eche un vistazo a math.stackexchange.com/questions/1132187/… Si le gusta el método de Conway, hay un buen libro nuevo de Weissman bookstore.ams.org/mbk-105
Muchos de los ingredientes están en Cox, Primes of the Form X 2 + norte y 2 . Las cosas que en su mayoría se mencionan brevemente son el coeficiente medio impar y las formas indefinidas. Gran parte de las cosas indefinidas se pueden ignorar debido a la clase número uno, pero aún así...
@WillJagy Cuando dices "clase número uno", quieres decir que q ( 5 ) es un PID, ¿verdad?
Creo que voy a publicar una respuesta. Lo que realmente quiero decir es que cualquier forma cuadrática binaria de discriminante 5 es S L 2 Z equivalente a la forma con coeficientes ⟨ 1 , 1 , − 1 ⟩ . Todo esto lo podría aprender de, por ejemplo, Dickson, Introducción a la teoría de los números (1929), disponible como una reimpresión económica.

Respuestas (2)

La teoría de las formas cuadráticas de Gauss puede responder a todas estas preguntas. La forma

X 2 + X y + y 2
aunque es fácil, tiene discriminante D = 5 . Todas las formas de discriminación 5 son equivalentes, (a través de transformada lineal con discriminante 1 ). La condición para un primo norte ser representado por una forma de discriminante 5 es eso
X 2 ≡ 5 ( modificación 4 norte )
ser solucionable, en otras palabras, que todos los números primos pag divisor norte , tenemos

( 5 pag ) = + 1

Y por reciprocidad cuadrática,

( 5 pag ) = ( pag 5 )
entonces debemos tener eso

pag ≡ 1 , 4 ( modificación 5 )

Esto da los números representados (primitivamente, eso es rel primo X , y ) por alguna forma de discriminante 5 , pero todos son equivalentes para la primera forma. Por supuesto, siempre puedes multiplicar por un cuadrado.

La segunda forma tiene discriminante D = 20 , en este caso hay dos formas no equivalentes,

2 X 2 + 2 X y − 2 y 2
y

X 2 + 4 X y − y 2 ∼ 5 X 2 − y 2
ahora la primera forma es solo el doble de la primera forma y los coeficientes no son rel. primo, por lo que podemos descontarlo. Aquí la condición a ser representada, por la segunda forma será
X 2 ≡ 20 ( modificación 4 norte )

Y desde 4 es un cuadrado perfecto esto es equivalente a

X 2 ≡ 5 ( modificación norte )
y así obtenemos exactamente la misma respuesta que en el primer caso, que es lo que esperábamos ver.

Las formas tienen diferentes discriminantes, pero representan los mismos números enteros, como se mostró en las respuestas a la pregunta de ayer, así que no entiendo el punto del último párrafo.
Ah, está bien, si quieres dar por sentado que representan los mismos números, entonces ya está. Solo digo que de momento no he realizado el cálculo en base al segundo formulario.
Puse una versión de baja tecnología. Con formas indefinidas, necesitará tener confianza en cómo hacer la reducción de Gauss-Lagrange. Mi versión favorita es Binary Quadratic Forms de Buell. También algunos de los primeros libros de Leonard Eugene Dickson.
Edité para incluir una discusión de la segunda forma.

Suponer ( 5 | pag ) = 1 por primera pag > 10 podemos resolver

t 2 ≡ 5 ( modificación pag ) .
Si es necesario, cambiando a pag − t , podemos arreglar eso t es impar, en cuyo caso hemos resuelto
t 2 ≡ 5 ( modificación 4 pag ) ,
o
t 2 = 5 + 4 pag w ,
t 2 − 4 pag w = 5.
Eso significa que
⟨ pag , t , w ⟩
son los coeficientes ordenados de una forma cuadrática binaria de discriminante 5. Por desigualdades, sabemos que esta forma es S L 2 Z equivalente a ⟨ 1 , 1 , − 1 ⟩ . Eso significa que hay una matriz entera con determinante 1 tal que
( a C b d ) ( 2 pag t t 2 w ) ( a b C d ) = ( 2 1 1 − 2 )
Esto también significa, con todos los números enteros,
( d − C − b a ) ( 2 1 1 − 2 ) ( d − b − C a ) = ( 2 pag t t 2 w )
significado
d 2 + d ( − C ) − C 2 = pag

Aquí hay un ejemplo con pag = 241 , dónde 103 2 ≡ 5 ( modificación 241 ) 

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle  241  103 11

  0  form            241         103          11  delta      4
  1  form             11         -15           5  delta     -2
  2  form              5          -5           1  delta     -2
  3  form              1           1          -1


           2          -3
          -9          14

To Return  
          14           3
           9           2

0  form   1 1 -1   delta  -1     ambiguous  
1  form   -1 1 1   delta  1     ambiguous            -1 composed with form zero  
2  form   1 1 -1


  form   1 x^2  + 1 x y  -1 y^2 

minimum was   1rep   x = 1   y = 0 disc 5 dSqrt 2  M_Ratio  4
Automorph, written on right of Gram matrix:  
-1  -1
-1  -2
=========================================
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$

La matriz llamada "To Return" nos dice que

14 2 + 14 ⋅ 9 − 9 2 = 196 + 126 − 81 = 241

Gracias. Voy a tener que trabajar en esto cuidadosamente, pero parece muy comprensible.
@saulspatz Recomiendo Binary Quadratic Forms: Classical Theory and Modern Computations de Duncan A. Buell. El programa de computadora anterior fue escrito en base al libro de Buell. Todos los aspectos prácticos necesarios para el programa están en las páginas 21-26, la teoría está en parte en otra parte
Gracias de nuevo. Veo que tienen el libro en Linda Hall Library, así que puedo escribir un programa como el tuyo y jugar con él.
Representación de enteros positivos por formas cuadráticas binarias
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