Unidades DENTRO de una función Dirac Delta

Primero aclaremos una cosa: nunca puedes sumar (o restar) dos expresiones con diferentes unidades. por ejemplo, en$\delta(x - 1)$, el 1 no tiene unidades, lo que significa$x$tiene que ser unitless también.

Luego está el tema separado de las unidades de la expresión dentro del delta de Dirac. La expresión dentro del delta es su argumento, y como sabes, el argumento no tiene que ser sin unidades. Así que ahí está tu respuesta. Puedes escribir$\delta(x - 1\text{ m})$, por ejemplo, y desde$x - 1\text{ m}$tiene unidades de longitud, la propia función delta tendrá unidades de longitud inversa.

La razón por la que los argumentos de muchas funciones no tienen unidades es que esas funciones se pueden expresar como una serie de potencias,

$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$$

donde el$a_i$son solo numeros ¹ Por ejemplo,

$$\begin{align} \exp(x) &= 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \cdots \\ \sin(x) &= x - \frac{x^3}{6} + \cdots \end{align}$$

Si$x$tenía unidades de, digamos, longitud, entonces estaría sumando un número a una longitud a un área (longitud al cuadrado) a un volumen, etc., y como dije, eso no puede suceder.

Pero la función delta no es una de estas funciones que se pueden expresar como una serie de potencias. De hecho, no es realmente una función en absoluto. Es una distribución, definida implícitamente por la integral

$$\int_a^b f(x) \delta(x - x_0)\mathrm{d}x = \begin{cases}f(x_0), & a \le x_0 \le b \\ 0,& \text{otherwise}\end{cases}$$

Para que esta integral salga con las mismas unidades que$f(x_0)$, el resto de la expresión se integra, es decir, la combinación$\delta(x - x_0)\mathrm{d}x$- tiene que ser unitless. Y desde$\mathrm{d}x$tiene las mismas unidades que$x$,$\delta(x - x_0)$tiene que tener la unidad que cancela esa unidad.

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¹ Se podría argumentar que se puede definir una función$f$como una serie de potencias donde los coeficientes$a_n$tienen unidades del tipo apropiado, y en ese caso el argumento$x$ Tendría unidades. Pero siempre puede generalizar tal función a una función diferente de una variable sin unidades: simplemente escriba$a_n = f_0 b_n/x_0^n$dónde$b_n$es sin unidades y$x_0$tiene la misma dimensión que$x$y luego expresa la función como

$$f(x) = \sum a_n x^n = f_0\sum b_n (x/x_0)^n = f_0 g(x/x_0)$$ dónde $g(y) = \sum b_n y^n$. La función $g$expresa la misma relación funcional que $f$, pero en términos de una variable sin unidades y, por lo tanto, es más útil en general.

Pista: usa la identidad

$$\delta(ax)~=~\frac{1}{|a|}\delta(x)$$

(dónde$a\neq 0$es una constante real distinta de cero) para transportar unidades dentro y fuera de la función delta de Dirac $\delta(x)$.

Tiene razón, la función delta en sí misma tiene la dimensión inversa de su argumento. La pregunta es ahora: ¿de dónde viene el argumento? ¿Qué determina sus unidades? En principio, se pueden inventar expresiones arbitrarias con diferentes unidades para cada término. Pero, ¿se puede interpretar esto físicamente? No. En muchas aplicaciones de la física, la función delta sirve para restringir alguna expresión a un punto en el espacio (tiempo), es decir

$$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r'}),$$

dónde$\mathbf{r}$es un vector de posición general y$\mathbf{r'}$representa la expresión a la que desea restringirla. Esto se puede usar, por ejemplo, para modelar la densidad de una carga puntual en electrodinámica. Ambas cantidades en el argumento representan una posición, es decir, tienen la dimensión de una longitud y, por lo tanto, se pueden medir en metros. No tendría sentido asignar una posición a, por ejemplo, una velocidad.

Por lo tanto, si escribes una expresión como$\delta(x-1)$, tienes que asegurarte de que x es adimensional (siempre que el$1$se toma como adimensional también).

Editar:

También puedes pensarlo así:

La función delta de dirac solo da un valor distinto de cero si su argumento desaparece. En tu caso, esto viene dado por la condición$x-1=0$o$x=1$. Esta es una ecuación. Una ecuación solo se puede cumplir si los términos en ambos lados del signo de igualdad son iguales . Esto también significa que las unidades tienen que coincidir. No puede equiparar, por ejemplo, segundos a metros, o metros a una cantidad sin unidades (sin dimensiones). Por lo tanto, todos los términos del argumento de la función delta deben tener la misma dimensión/unidad.