Notación de corchetes en índices tensoriales

La (anti)simetrización simplemente actúa sobre todos los índices encerrados (a la misma "altura" que realmente están encerrados entre paréntesis), independientemente de que pertenezcan al mismo tensor oa diferentes tensores. Por ejemplo,

$$\delta^{[\alpha}{}_{[\gamma} R^{\beta]}{}_{\delta]} = \frac 12 \left(\delta^{[\alpha}{}_{\gamma} R^{\beta]}{}_{\delta} - \delta^{[\alpha}{}_{\delta} R^{\beta]}{}_{\gamma} \right) = \dots$$ y cada término en el lado derecho aún puede expandirse porque es una antisimetrización del $\alpha\beta$índices: $$\dots = \frac 14 \left( \delta^{\alpha}{}_{\gamma} R^{\beta}{}_{\delta} - \delta^{\alpha}{}_{\delta} R^{\beta}{}_{\gamma} - \delta^{\beta}{}_{\gamma} R^{\alpha}{}_{\delta} + \delta^{\beta}{}_{\delta} R^{\alpha}{}_{\gamma} \right)$$ Del mismo modo para todos sus otros términos (el $\delta-\delta$término se computa en la otra respuesta que apoyo), o cualquier otro tensor. El número de términos en estas expansiones aumenta "exponencialmente" si hay muchas (anti)simetrizaciones, por lo que se vuelve realmente tedioso escribir todos los términos; esta tediosa es la razón por la que se usan los símbolos de (anti)simetrización, después de todo.

Siempre que los diversos grupos de índices que están (anti)simetrizados sean disjuntos (y los grupos de índices superiores nunca tienen ninguna intersección con un grupo de índices inferiores), no importa en qué orden expanda la (anti)simetrización. Tiene la garantía de obtener el mismo resultado.

Se supone que no debes considerar la$\gamma$para ser parte del soporte superior en su ejemplo. Solo estás anti-simetrizando sobre el par.$\alpha$y$\beta$y la pareja$\gamma$y$\delta$. la regla seria$V{^{[\alpha}}_{[\gamma }{^{\beta ]}}_{\delta ]} = \frac{1}{2}(V{^{\alpha}}_{[\gamma }{^{\beta }}_{\delta ]} - V{^{\beta}}_{[\gamma }{^{\alpha }}_{\delta ]}) = \frac{1}{2}(V{^{[\alpha}}_{\gamma }{^{\beta ]}}_{\delta } - V{^{[\alpha}}_{\delta }{^{\beta ]}}_{\gamma }) = \frac{1}{4}(V{^{\alpha}}_{\gamma }{^{\beta }}_{\delta } -V{^{\alpha}}_{\delta }{^{\beta }}_{\gamma } - V{^{\beta}}_{\gamma }{^{\alpha }}_{\delta } + V{^{\beta}}_{\delta }{^{\alpha }}_{\gamma })$.

Tenga en cuenta que el orden en que realiza las dos antisimetrizaciones no importa.

Como ejemplo,$\delta{^{[\alpha}}_{[\gamma }\delta{^{\beta ]}}_{\delta ]} = \frac{1}{4}(\delta{^{\alpha}}_{\gamma }\delta{^{\beta }}_{\delta } -\delta{^{\alpha}}_{\delta }\delta{^{\beta }}_{\gamma } - \delta{^{\beta}}_{\gamma }\delta{^{\alpha }}_{\delta } + \delta{^{\beta}}_{\delta }\delta{^{\alpha }}_{\gamma })$.

El de la$\delta$y el$R$da la misma respuesta excepto la segunda$\delta$se convierte en un$R$.