¿Cómo muestra a partir de la notación de índice que la fórmula de cambio de marco para una métrica debe incluir la transposición?

Los índices repetidos se sumarán a lo largo. Recuerde que dadas dos matrices cualesquiera$A = (A_{ij})$y$B = (B_{ij})$, el producto de matrices es una nueva matriz$AB = (C_{ij})$definido de la siguiente manera:

$$\begin{align} C_{ij} = A_{ik}B_{kj} \end{align}$$ En particular, si pensamos en el primer índice como el índice de fila y el segundo índice como el índice de columna, entonces vemos que en el producto de matriz, el índice de columna del primer factor de matriz (matriz $A$) se suma con el índice de fila del segundo factor (matriz $B$).

Ahora, recuerda que para$A$dado como arriba, su transposición está definida por$(A^T)_{ij} = A_{ji}$, por lo que tendríamos

$$\begin{align} (A^TB)_{ij} = (A^T)_{ik}B_{kj} = A_{ki}B_{kj} \end{align}$$ En otras palabras, cuando multiplicamos la transpuesta de una matriz $A$con otra matriz $B$, en notación de índice esto corresponde a la suma de los índices de fila de ambos factores $A$y $B$.

Dadas estas observaciones, y usando la convención estándar de que el índice más a la izquierda es el índice de fila (sin importar si está hacia arriba o hacia abajo) y el índice más a la derecha es el índice de columna, vemos que en la expresión

$$\begin{align} (S^{-1})^\mu_{\phantom\mu\rho} g_{\mu\nu}(S^{-1})^\nu_{\phantom\nu\sigma} \end{align}$$ el índice de fila de la primera $S^{-1}$factor se suma con el índice de fila de $g$; por lo que los dos primeros factores implican el producto de $(S^{-1})^T$y $g$.

La respuesta de joshphysics aborda cómo convertir entre las notaciones de índice y matriz. Aquí hay algo que uso para evitar convertirlo por error a$(S^{-1}gS^{-1})$, lo que podría suceder porque las dos apariciones de$S$en la notación de índice parece simétrica: observe que la expresión

$$g_{\mu\nu}~(S^{-1})^\mu{}_\rho~(S^{-1})^\nu{}_\sigma$$

no cambia cuando intercambiamos$\rho$con$\sigma$, lo que significa que representa un tensor simétrico. La expresion

$$(S^{-1})^Tg(S^{-1})$$

también es simétrico, lo que podemos ver tomando la transpuesta.