Renormalización del esquema de corte y orden de integración en QFT

Question

Renormalización del esquema de corte y orden de integración en QFT

Física
integración
renormalización
Feynman-diagramas
teoría cuántica de campos

QuantumEyedea

El siguiente es el resultado del Teorema de Fubini , que describe cuándo puede reemplazar una integral doble con una integral iterada de manera segura:

para un conjunto $X \times Y \subset \mathbb{R}^2$ , si $\iint |f(x,y)| d(x,y)$ es un número finito el tenemos la igualdad:

\iint_{X \times Y} F (X, y) d (X, y) = \int_{X} [\int_{Y} F (X, y) d y] d X = \int_{Y} [\int_{X} F (X, y) d X] d y

$\iint_{X\times Y} f(x,y) d(x,y) = \int_X \left[ \int_Y f(x,y) dy \right] dx = \int_Y \left[ \int_X f(x,y) dx \right] dy$

Entonces esto nos dice: podemos cambiar con seguridad el orden de integración si integrar el valor absoluto del integrando da un número finito.

Si no se cumple la condición, entonces las integrales iteradas pueden converger a diferentes valores. Por ejemplo (como se indica en la wiki) tenemos lo siguiente:

\int_{0}^{1} [\int_{0}^{1} \frac{X^{2} - y^{2}}{(X^{2} + y^{2})^{2}} d X] d y = - \frac{π}{4} \int_{0}^{1} [\int_{0}^{1} \frac{X^{2} - y^{2}}{(X^{2} + y^{2})^{2}} d y] d X = \frac{π}{4}

$\int_{0}^{1} \left[ \int_{0}^{1} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dx \right] dy = - \frac{\pi}{4}\\ \int_{0}^{1} \left[ \int_{0}^{1} \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dy \right] dx = \frac{\pi}{4}$

Renormalización: cuando nos encontramos con una integral de Feynman divergente, un método de renormalización consiste en introducir un límite para caracterizar "cómo" diverge la integral (es decir, como un logaritmo, una ley de potencia, etc.). Por ejemplo; $\int_{\mathbb{R}^4} \frac{d^4p}{p^2 - m^2}$ es UV divergente, y diverge como $\propto \Lambda^2 - m^2 \log\left( \frac{\Lambda^2}{m^2} \right)$ (para $\Lambda \gg m$ un corte UV).

Mi pregunta: ¿ Qué sucede si tenemos una integral de Feynman que diverge de manera diferente según el orden en que la integres?

Como ejemplo, tengo la siguiente integral artificial:

I := \int_{0}^{\infty} d t \int_{0}^{\infty} d X \frac{en (X)^{2}}{X (1 - X^{2}) (en (X)^{2} + t^{2})}

$\mathcal{I} := \int_0^\infty dt \int_0^\infty dx\ \frac{\ln(x)^2}{x(1-x^2)(\ln(x)^2+t^2)}$

Esta integral diverge en algunos lugares, pero consideremos cómo diverge cerca de $(t,x) = (0,0)$ .

CASO I : Integrar $t$ primero, y nos quedamos con la integral $\int_0^\infty \frac{dx}{x(1-x^2)|\ln(x)|}$ . Esta integral diverge en $x=0$ de la siguiente manera $\propto \ln\left(\ln(\tfrac{1}{x})\right)$ (para $x \approx 0$ ) (puede verificar las asintóticas en esto).

CASO II Si integras $x$ lejos primero (definir una nueva variable $q = \ln(x)$ y manipularlo para obtener $\int_0^\infty \frac{q^2}{(q^2+t^2)^2} = \frac{\pi}{4|t|}$ ), nos quedamos con la integral $\int_0^\infty \frac{\pi}{4t}$ , que diverge como $\propto \log(t)$ para $t \approx 0$ .

Entonces vemos que la integral diverge diferente dependiendo de la forma en que integres esto.

¿Qué pasaría si uno se encontrara con una situación así físicamente? ¿No está permitido por alguna razón? ¿Cómo renormalizamos las cosas si la forma en que nuestra integral diverge puede variar? Además, ¿qué pasa si la variable sobre la que necesitamos colocar nuestro corte es diferente según el orden de integración ? ¡Esto parece muy preocupante!

¿Esta situación es demasiado artificial y no sucedería en un problema QFT físicamente relevante real?

AccidentalFourierTransformar

Tenga en cuenta que la forma de las divergencias en un QFT saludable está muy restringida (cf. el teorema de Weinberg). En cualquier caso, la forma adecuada de proceder es considerar teorías reguladas, donde todas las integrales son siempre absolutamente convergentes (de manera que Fubini es seguro).

QuantumEyedea

Perdona mi ignorancia, pero ¿a qué teorema de weinberg te refieres? ¿Está en sus libros de texto QFT?

AccidentalFourierTransformar

Sí: el capítulo 12 es, en esencia, una discusión detallada de las posibles formas de los términos divergentes en un diagrama de Feynman arbitrario.

Respuestas (2)

Renormalización del esquema de corte y orden de integración en QFT

Tenga en cuenta que la forma de las divergencias en un QFT saludable está muy restringida (cf. el teorema de Weinberg). En cualquier caso, la forma adecuada de proceder es considerar teorías reguladas, donde todas las integrales son siempre absolutamente convergentes (de manera que Fubini es seguro).
Perdona mi ignorancia, pero ¿a qué teorema de weinberg te refieres? ¿Está en sus libros de texto QFT?
Sí: el capítulo 12 es, en esencia, una discusión detallada de las posibles formas de los términos divergentes en un diagrama de Feynman arbitrario.

Connor Behan · Answer 1

Está preguntando si la teoría de perturbaciones puede generar integrales condicionalmente convergentes y la respuesta es sí . El comentario sobre que Fubini está a salvo después de que la integral se hace finita es demasiado rápido. Sí, si evita las regiones donde $\iint |f(x,y)| \, dx dy$ diverge entonces $\iint f(x,y) \, dx dy$ se puede hacer en cualquier orden. Pero esto es cambiar una ambigüedad en el ordenamiento por una ambigüedad en el regulador. En otras palabras, la afirmación común de que podemos regular las integrales de cualquier manera conveniente es falsa. Lo que podemos hacer es regular las divergencias de cualquier manera conveniente. La misma integral puede tener muchas divergencias con el mismo origen físico y estas deben regularse de manera consistente.

El ejemplo integral en el que estoy pensando es

I = \int ⟨ ϵ (0) O (X) O (y) ϵ (\infty) ⟩ d^{2} X d^{2} y .

$I = \int \langle \epsilon(0) \mathcal{O}(x) \mathcal{O}(y) \epsilon(\infty) \rangle \, d^2x d^2y.$ Esto surge en la teoría de la perturbación conforme de dos bucles donde interpretaríamos

O

$\mathcal{O}$ como un operador marginal clásico. Hay singularidades a medida que los operadores se acercan entre sí. Pero si los mantenemos a distancia

a

$a$ aparte, el coeficiente de la

\log (a)

$\log(a)$ divergencia de esta integral tiene un bonito significado físico: es la dimensión anómala de

ϵ

$\epsilon$ . (Tenga en cuenta que estoy usando un límite de distancia corta aquí, pero esto es equivalente a un límite de impulso grande si usamos la transformada de Fourier). Usando el hecho de que

O

$\mathcal{O}$ es marginal, podemos reescalar por

| y |

$|y|$ y sustituir

z = x / | y |

$z = x / |y|$ Llegar

\begin{aligned} I & = \int | y |^{- 4} ⟨ ϵ (0) O (X / | y |) O (y / | y |) ϵ (\infty) ⟩ d^{2} X d^{2} y \\ = 2 π \int \frac{d | y |}{| y |} \int | y |^{- 2} ⟨ ϵ (0) O (X / | y |) O (\hat{mi}) ϵ (\infty) ⟩ d^{2} y \\ \sim 2 π registro (a) \int ⟨ ϵ (0) O (z) O (\hat{mi}) ϵ (\infty) ⟩ d^{2} z . \end{aligned}

$\begin{align} I &= \int |y|^{-4} \langle \epsilon(0) \mathcal{O}(x / |y|) \mathcal{O}(y / |y|) \epsilon(\infty) \rangle \, d^2x d^2y \\ &= 2\pi \int \frac{d|y|}{|y|} \int |y|^{-2} \langle \epsilon(0) \mathcal{O}(x / |y|) \mathcal{O}(\hat{e}) \epsilon(\infty) \rangle \, d^2y \\ &\sim 2\pi \log(a) \int \langle \epsilon(0) \mathcal{O}(z) \mathcal{O}(\hat{e}) \epsilon(\infty) \rangle \, d^2z. \end{align}$ Esta integral surgió en un estudio del modelo Ising de largo alcance donde la función 4pt es

⟨ ϵ (0) O (z) O (\hat{mi}) ϵ (\infty) ⟩ = \frac{| 1 + z |^{2}}{4 | z | | 1 - z |^{4}} .

$\langle \epsilon(0) \mathcal{O}(z) \mathcal{O}(\hat{e}) \epsilon(\infty) \rangle = \frac{|1 + z|^2}{4|z| |1 - z|^4}.$ Esto tiene una divergencia de ley de potencia como

z \to 1

$z \to 1$ y no nos importan esos (recuerde que solo estamos tratando de obtener el coeficiente del logaritmo), pero aquí viene la sutileza. Para agregar un contratérmino que vuelva a normalizar esto, primero debemos aislar la divergencia con un regulador. Y esto ya está limitado por lo que hicimos antes. Para obtener el

\log (a)

$\log(a)$ arriba, sacamos un

2 π

$2\pi$ con coordenadas polares, lo que significa que teníamos un corte circular. haciendo esto por

y \to 0

$y \to 0$ significa que también tenemos que hacerlo por

z \to 1

$z \to 1$ . Así que ahora finalmente llegamos a

j = \int \frac{1}{| 1 - z |^{4}} (\frac{| 1 + z |^{2}}{4 | z |} - 1) d^{2} z

$J = \int \frac{1}{|1 - z|^4} \left ( \frac{|1 + z|^2}{4|z|} - 1 \right ) d^2z$ que incluye el contratérmino. Si uno fuera a establecer

z = r e^{i θ}

$z = re^{i\theta}$ y dividirlo como

\int d^{2} z \to \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} r d r d θ + \int_{1}^{\infty} \int_{0}^{2 π} r d r d θ

$\int d^2z \to \int_0^1 \int_0^{2\pi} rdrd\theta + \int_1^\infty \int_0^{2\pi} rdrd\theta$ es relativamente sencillo confirmar que el resultado es

\frac{π}{4}

$\frac{\pi}{4}$ . Pero ignorando el dominio cero de la medida

{r = 1}

$\{ r = 1 \}$ así significa que nos estamos acercando a la

z = 1

$z = 1$ singularidad a diferentes velocidades dependiendo del ángulo violando así la prescripción de corte circular. Así que debemos ser escépticos de esto

\frac{π}{4}

$\frac{\pi}{4}$ . En su lugar, intente sustituir diferentes coordenadas polares definidas por

1 - z = ρ e^{i ϕ}

$1 - z = \rho e^{i\phi}$ y luego integrando numéricamente. ¡La respuesta podría sorprenderte!

Ah, y en caso de que esto parezca esotérico, los resultados para esta dimensión anómala (que favorecen la $1 - z = \rho e^{i\phi}$ pedido) se han encontrado con Monte Carlo .

Lê Dũng · Answer 2

Por lo general, cuando calculamos las integrales de Feynman, realizamos una rotación de Wick de modo que:

\int F ({pag}^{2}) d^{4} pag \to \int F ({pag}_{mi}^{2}) d^{4} {pag}_{mi}

$\int f(p^2)d^4p\rightarrow\int f(p_E^2)d^4p_E$ dónde:

p^{2} = p_{0}^{2} - {\vec{p}}^{2}

$p^2 = p_0^2-\vec{p}^2$ ,

p_{E}^{2} = p_{0}^{2} + {\vec{p}}^{2}

$p_E^2 = p_0^2+\vec{p}^2$ , luego haga la integración en el espacio euclidiano de 4 dimensiones usando el ángulo sólido de 4 dimensiones:

d^{4} p_{E} = p_{E}^{3} d Ω_{4}

$d^4p_E = p_E^3d\Omega_4$ , dónde

p_{E}

$p_E$ es la norma en el espacio de 4 dimensiones que tiene el significado de energía.

La función en la integral de Feynman con $p_E$ es simétrica en términos de $p_0$ y $\vec{p}$ , entonces, creo que no es necesario preocuparse por el teorema de Fubini aquí.

Creo que el lugar para preocuparse sería con los términos de interacción en los diagramas de Feynman, y si se integra primero sobre el momento de la partícula 1 o el momento de la partícula 2. No conozco ningún caso como el que cita el OP, pero ciertamente uno podría imaginarlos.
Sí, esa es una situación que me preguntaba. También intenté hacer algunas integrales de bucle de posición-espacio en espacio-tiempo curvo una vez, y allí las funciones eran muy extrañas (porque estaba usando coordenadas que no eran Minkowski) y si mal no recuerdo, aquí es donde pensé que esto podría ser un problema.

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Respuestas (2)

Connor Behan

Lê Dũng

jerry schirmer

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