Este diagrama One-Loop para la teoría ϕ4ϕ4\phi^{4} - renormalización e ir al espacio de posición

Esto está algo relacionado con una pregunta anterior que hice sobre el siguiente diagrama en$\phi^{4}$teoría:

He estado siguiendo estas notas de conferencias de H. Kleinert y V. Schulte-Frohlinde.

diciendo que estamos dentro$D$-dimensiones y yendo al espacio de cantidad de movimiento, el diagrama anterior corresponde a lo siguiente:

$$- \lambda \int \frac{d^{D}p}{(2\pi)^{D}} \frac{1}{p^{2}+m^{2}} = - \lambda \frac{(m^{2})^{D/2}}{(4\pi)^{D/2}} \Gamma\left(1 - \tfrac{D}{2}\right)$$

Lo anterior es divergente para$D=4$, por lo que consideramos pequeños$\epsilon$para cual$4-D=\epsilon$. Consideramos un parámetro de masa arbitrario$\mu$, e introduzca una constante de acoplamiento adimensional$g =\lambda \mu^{-\epsilon}$. Lo anterior luego dice:

$$= - m^{2} \frac{g}{(4\pi)^{2}} \left( \frac{4 \pi \mu^{2}}{m^{2}} \right)^{\epsilon/2} \Gamma\left( \tfrac{\epsilon}{2} - 1 \right)$$ Y realizando una expansión de Taylor sobre pequeños $\epsilon$, encontramos que lo anterior se convierte en ( $\psi$es la función digamma): $$\approx m^{2} \frac{g}{(4\pi)^{2}} \left[ \frac{2}{\epsilon} + \psi(2) + \log\left( \frac{4 \pi \mu^{2}}{m^{2}} \right) + \mathcal{O}(\epsilon) \right]$$

$\ $

Estoy interesado en obtener la contribución de lo anterior en el espacio de posición, en el límite sin masa.$m \to 0$. Tengo dos preguntas:

1. En las notas de clase anteriores, dice que el diagrama anterior es IR-divergente en el límite que$m^{2} \to 0$. ¿Qué significa esto, precisamente ?

2. Si tenemos un impulso entrante$k$, y el diagrama anterior corresponde a una función$\tilde{F}(k)$en el espacio de cantidad de movimiento, entonces en el espacio de posición tenemos una contribución dada por$F(x_{1},x_{2}) = \int \frac{d^{4}k}{(2\pi)^{4}} e^{- k \cdot (x_{1} - x_{2})} \tilde{F}(k)$. ¿Cómo hago esto en el marco de la regularización dimensional? ¿Puedo hacer esto? ¿Dónde está la dependencia de$k$en lo anterior que puedo incluso hacer la integral, y luego ¿cómo completo esa integral?

Al final del día, estoy tratando de entender la naturaleza de la divergencia de este diagrama en el espacio de posición (en el caso sin masa).