¿Cómo probar la equivalencia del flujo RG de la constante de acoplamiento QFT y la reanudación esquemática en una escala de renormalización fija?

No es una prueba "diagramática", pero puede ver que esta es, de hecho, la aproximación del "registro principal" al observar lo que obtiene cuando resuelve Callan-Symanzik con la función Beta del primer bucle. Digamos que tengo alguna función de correlación$\mathcal{G}(\lambda,\ell)$que es una función de algún acoplamiento marginal$\lambda$y$\ell \equiv \log \Lambda$el logaritmo de la escala de energía. Di el primer ciclo$\beta$función para$\lambda$parece

$\beta(\lambda) = b\lambda^2 + \mathcal{O}(\lambda^3)$

por alguna constante$b$. Al igual que escalar$\phi^4$en$d=4$.

La ecuación CS parece

$\left(\frac{\partial}{\partial\ell} - \beta(\lambda)\frac{\partial}{\partial\lambda}\right)\mathcal{G}(\lambda,\ell) = 0$

Resolviendo esta ecuación con el orden más bajo$\beta$función te da$\mathcal{G}$en el limite$\lambda \rightarrow 0$pero$\lambda\ell$fijado. Esta es, por lo tanto, la suma de los términos que conducen en$\ell$por cada orden de$\lambda$. Puedes ver esto reescribiendo$\mathcal{G}$de la siguiente manera:

$\mathcal{G}(\lambda,\ell) = \lambda\mathcal{G}^{(1)}(\lambda\ell) +\lambda^2\mathcal{G}^{(2)}(\lambda\ell) + \lambda^3\mathcal{G}^{(3)}(\lambda\ell) +\,\,...$

donde el$\mathcal{G}^{(i)}$son algunas funciones desconocidas de una sola variable. Puede hacer esto ya que hay un nivel máximo de divergencia en cada orden de la teoría de la perturbación. Si conecta esto a la ecuación CS y realiza un seguimiento del orden de los términos que ve, obtiene una buena ecuación diferencial para$\mathcal{G}^{(1)}$, pero no para ninguno de los términos de orden superior. Si fuiste al siguiente pedido en$\lambda$en el$\beta$función que le daría una buena ecuación para$\mathcal{G}^{(2)}$que es el siguiente a los diagramas más divergentes de cada orden de la teoría de la perturbación. Entonces el procedimiento RG convierte el límite$\lambda\rightarrow 0$,$\ell$arreglado que obtienes de la teoría de la perturbación estándar, en el límite$\lambda\rightarrow 0$,$\lambda\cdot\ell$fijo, que suele ser más útil.

Si resuelves la ecuación a segundo orden obtienes:

$g=\frac{g_0}{1-a g_0 log\lambda}=g_0 +\sum_n g_0^{n+1}a^nlog^n \lambda$

la segunda parte es la contribución de las potencias del primer diagrama de bucle, por ejemplo, intente escribir g en 1 bucle primero y luego sume todas las potencias del diagrama de primer orden.