Relojes en relatividad especial

En el primer libro al que se vinculó en los comentarios, creo que el autor está tratando de decir que si un observador configura su reloj con un reloj en una estación de tren, luego se sube a un tren y viaja a otra estación de tren, encontrará que su reloj es lento en comparación con el reloj de la estación.

Esto es cierto porque para viajar de una estación a otra, el ciclista debe acelerar. Durante la aceleración, el reloj de la estación parecerá marcar mucho más rápido, y durante la parte del viaje a velocidad constante (si la hay), el reloj de la estación marcará más lentamente.

Estas notas de clase hacen un buen trabajo al explicar cómo funciona la aceleración en SR.

Aquí hay una explicación básica, básica y bastante heurística. Cuando observamos la velocidad a través del espacio-tiempo con respecto al tiempo de la persona que viaja (la persona que salió del marco de la estación de tren), podemos usar algo llamado velocidad propia. La velocidad adecuada es la distancia que recorres medida en el marco de la estación de tren (el marco al que eventualmente regresarás), dividida por el tiempo en tu marco en movimiento (llamado el tiempo propio,$\tau$).

La magnitud de su propia velocidad con respecto a un marco dado se fija en c, la velocidad de la luz. Si está sentado en reposo en el marco, se está precipitando a través de la dimensión del tiempo a la velocidad de la luz. A medida que comienza a aumentar su velocidad a través del espacio, su velocidad a través del tiempo con respecto al marco fijo de la estación de tren se ralentiza. Todo el tiempo que te estás moviendo a esta mayor velocidad a través del espacio, la estación de tren se está moviendo a través de su dimensión de tiempo más rápido que tú. Aquí hay un punto importante:

La aceleración importa en el sentido de que cambias tu velocidad a través del tiempo en relación con la estación de tren, pero el intervalo en el que permaneces en la nueva velocidad importa tanto o más. Esto fue detallado en un artículo bastante reciente de AJP[2].

En cuanto a tu pregunta original... veamos. Como es habitual en las paradojas de la física, todo el mundo tiene razón. Aquí está mi interpretación al estilo Cinton de las dos afirmaciones anteriores. Depende de lo que signifique la palabra 'observador'. En la primera afirmación, el observador es el viajero. Se nota porque está en reposo con respecto a su propio reloj y preocupado por el reloj de la estación de tren. Este comentario grita 'momento adecuado' y 'velocidad adecuada' una vez que haya visto suficientes de estos artículos/libros. Además, L&L están a lo grande en la velocidad del espacio-tiempo adecuada que verás escrita como dos vectores un poco más adelante en el texto. No tengo mi copia sentada aquí, pero tienden a enfocarse en la velocidad adecuada.

El observador en la segunda declaración es el habitual 'observador' de la relatividad especial que se usa en la mayoría de los textos. Se queda en la estación de tren y mide todo con respecto a la distancia de su marco y el tiempo de su marco. Si tuviera una forma de mirar mágicamente tu reloj, entonces sí, se movería más lento que el suyo. Él puede verificar con certeza que su reloj anduvo lento si regresa.

Espero que esto ayude, ya que divagó un poco y no incluyó gran parte de las matemáticas subyacentes. Si desea profundizar en ese aspecto o si tiene alguna otra pregunta, hágamelo saber.

Referencias

1. Geometrización de la fórmula de adición de velocidad relativista, Robert W. Brehme, Cita: Am. J. física. 37, 360 (1969); doi: 10.1119/1.1975576, Ver en línea: http://dx.doi.org/10.1119/1.1975576

2. Dilatación de tiempo cero en un cohete en aceleración, Ronald P. Gruber y Richard H. Price, Cita: Am. J. física. 65, 979 (1997); doi: 10.1119/1.18700 Ver en línea: http://dx.doi.org/10.1119/1.18700

¿No se contradicen?

Bueno, si ambas declaraciones se interpretan comprensivamente (y ambas son tan cortas y están mal redactadas que pueden usar mucha interpretación comprensiva), entonces se podría decir que son consistentes entre sí y se refieren a la misma situación experimental bastante simple, descrita desde perspectivas opuestas. :

Tenemos dos participantes, digamos$A$y$B$, que están y permanecen en reposo entre sí, y otro participante,$J$, que se mudó de$A$a$B$; uniformemente, con velocidad$\beta~c$. (Esta breve descripción es suficiente para describir la configuración sin ambigüedades).

En correspondencia con estos tres participantes en este montaje hay tres duraciones de especial relevancia:

• la duración de$A$de$A$'s (propia) indicación de haber sido dejado por$J$Hasta que$A$'s (propia) indicación simultánea a$B$la indicación de haber sido recibido por$J$; simbólicamente:$\tau A[ \circ_J, \circledS B_J ]$,

• la duración de$B$de$B$'s (propia) indicación simultánea a$A$'s indicación de haber sido dejado por$J$Hasta que$B$La (propia) indicación de haber sido recibido por$J$; simbólicamente:$\tau B[ \circledS A_J, \circ_J ]$, y

• la duración de$J$de$J$'s (propia) indicación de haber sido dejado por$A$Hasta que$J$La (propia) indicación de haber sido recibido por$B$; simbólicamente:$\tau J[ \circ_A, \circ_B ]$.

Obviamente (debido a$A$y$B$estar en reposo el uno del otro)

y no es difícil deducir (apelando a las nociones de "reposo mutuo" y "duración" y "velocidad", tal como se definen dentro de la teoría de la relatividad) que

y por lo tanto (debido a$0 \lt \beta^2 \lt 1$)

La interpretación sugerida de la primera declaración es entonces identificar$J$como " cualquier observador (incluido su reloj )" y$A$y$B$como los " otros relojes ";
mientras que la interpretación sugerida de la segunda declaración es identificar$A$y$B$como los " observadores " y$J$como " cualquier reloj ".

Hay una "sutileza" más a tener en cuenta:
anteriormente en la sección "Los relojes y las reglas juegan trucos" del folleto de Landau/Rumer (es decir, en el segundo párrafo de esa sección) se señala:

Pero el relojero le aseguró al viajero que su reloj está perfectamente bien.
[Mi traducción de una edición alemana del folleto de Landau/Rumer, que casualmente tengo disponible en este momento.]

Por lo tanto:

1. Todos los relojes considerados en los ejemplos de Landau/Rumer están (posiblemente) "funcionando a la misma velocidad "; no hay unos " corriendo lento (er)" y/u otros " corriendo rápido (er)",
   sino que, en correspondencia con la desigualdad mostrada arriba, se podría decir más correctamente que$P$La duración (o " ejecución ") de fue más corta que las duraciones correspondientes (o " ejecución ") de$A$y$B$. Y

2. Cabe señalar que las ecuaciones y la desigualdad que se muestran arriba (incluida su derivación) solo se refieren a la comparación de duraciones, no a "tasas" o "lecturas". Estas relaciones son independientes de que las "velocidades" de los distintos relojes sean iguales y estén " bien (en comparación entre sí)", o no. En cambio, estas relaciones son útiles para determinar en primer lugar si las "velocidades" de diferentes relojes permanecieron iguales (como cualquier relojero puede haber prometido), o no, especialmente si los relojes a comparar se movían entre sí.

La razón por la que estas declaraciones son consistentes se vuelve clara si citamos el libro de Landau & Rumer un poco más extensamente:

Delante de nosotros hay una vía férrea muy larga con el tren de Einstein moviéndose a lo largo de ella. A una distancia de 864.000.000 kilómetros entre sí hay dos estaciones. A su velocidad de 240.000 kilómetros por segundo, el tren de Einstein necesita una hora para recorrer esta distancia.

Hay un reloj en cada una de estas estaciones. Un pasajero sube al tren en la primera estación y antes de su salida pone su reloj en el reloj de la estación. Al llegar a la segunda estación, nota con asombro que su reloj se atrasa.

El relojero le había asegurado al pasajero que su reloj estaba en perfecto orden.

¿Qué ha estado pasando?

[explicación de cómo funcionan estos efectos en la relatividad, que es el material estándar de los libros de texto]

Entonces, cualquier reloj en movimiento funcionará más lento en comparación con un reloj en reposo. Pero, ¿no contradice este resultado el principio de la relatividad del movimiento, que fue nuestro punto de partida? ¿No significa esto que el reloj que va más rápido que cualquier otro está en un estado de reposo absoluto? No, porque comparamos el reloj del tren con los relojes de las estaciones en condiciones completamente desiguales. ¡Usamos no dos, sino tres relojes! El viajero comparó su reloj con dos relojes diferentes en dos estaciones diferentes.

En otras palabras, el punto crucial (como señala cth en un comentario) es que estamos comparando el tiempo transcurrido en el reloj del pasajero con la diferencia de tiempos entre un par de relojes, donde los relojes del par están en reposo en relación con uno otro, y han sido sincronizados en su marco de descanso. (Cuando digo que están sincronizados, quiero decir que han hecho lo siguiente: se dispara una señal de luz desde el primer reloj al segundo, que refleja la señal inmediatamente. El primer reloj luego envía al segundo reloj una carta en la que especifica los tiempos que indicaba su rostro cuando enviaba y recibia la senal luminosa: llame a estos$\tau_1$y$\tau_2$(así que podríamos tener$\tau_1$= 17:00 y$\tau_2$= 17:10, por ejemplo). Luego, el segundo reloj establece su esfera de tiempo para leer$\frac{1}{2}(\tau_2 - \tau_1) + \Delta \tau$, dónde$\Delta \tau$es el tiempo que ha registrado transcurrido desde el evento de reflexión. En otras palabras, establece su cara de tiempo de tal manera que al evento de reflexión se le asigna tiempo$\frac{1}{2}(\tau_2 - \tau_1)$(Entonces, en el ejemplo, se establece de tal manera que al evento de reflexión se le asigna la hora 17:05. Esto se conoce generalmente como la convención de sincronía de Einstein-Poincaré).

Si el pasajero hubiera buscado calcular los intervalos de tiempo entre los tics de un reloj (digamos el reloj en la primera estación) usando su reloj, averiguando qué eventos en su reloj son simultáneos con esos tics, entonces habría determinado que el tick de las 17:00:00 está separado del tick de las 17:00:01 por un intervalo superior a 1 segundo; es decir, suponiendo que el primer tic es simultáneo con la lectura de su reloj$t$, el segundo tic resultará ser simultáneo con la lectura de su reloj$t + 1 + \epsilon$, por algo positivo$\epsilon$. (De hecho, podría calcular los números aquí, pero tengo prisa y no puedo molestarme). Pero si alguien ubicado en la estación (digamos, el gerente de la estación) hubiera intentado hacer lo mismo, habría llegó a la conclusión de que las marcas en el reloj del pasajero están separadas por intervalos de más de 1 segundo. Es decir, el director de la estación juzga que los tictacs del reloj del pasajero son simultáneos con los eventos del reloj de la estación separados por más de 1 segundo. Tampoco hay contradicción aquí: el hecho de que lleguen a conclusiones "opuestas" simplemente hace vívido el hecho de que el pasajero y el gerente de la estación no están de acuerdo sobre qué eventos en la línea mundial del pasajero son simultáneos con qué eventos en la línea mundial del gerente de la estación.

La Teoría de la Relatividad Especial dice que el reloj en movimiento es más lento. Resulta de la ecuación de transformación para el tiempo que muestra la dilatación del tiempo :

dónde$\Delta t'$es el tiempo medido en un marco de referencia considerado estacionario, y$\Delta t$se mide en un marco de referencia considerado móvil (con respecto al estacionario) y$\gamma>0$*.

Como puede ver, sea cual sea el período de tiempo que elija como$\Delta t$,$\Delta t'$será siempre mayor, porque$\Delta t$será multiplicado por$\gamma$. Esto significa que el reloj estacionario siempre medirá una mayor cantidad de segundos para una cantidad dada de segundos medidos por el reloj en movimiento y, por lo tanto, el reloj en movimiento siempre será el más lento de acuerdo con SR .

*$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}}$

la declaración es

"Cualquier observador en reposo con respecto a su propio reloj verá que otros relojes que se mueven con respecto a él corren rápido: cuanto mayor es su velocidad, más rápidos son".

Según una fuente, Don Koks (autor de un libro de texto de física) esta afirmación es verdadera... con la condición de que A gire alrededor de B.

http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/movingClocks.html

Sea A muy cerca de la órbita de B. La órbita es tan cercana que A casi toca a B; por lo tanto, se pueden despreciar los retardos de tiempo en los intercambios de señales. Cuanto más rápido A orbita B, MÁS RÁPIDO corre el reloj de B en la vista de A. Por el contrario, el reloj de A más lento funciona en la vista de B.

Usaré esta referencia Capítulo 3 Dilatación del tiempo de la ecuación de onda clásica de Comprensión de la teoría cuántica relativista de campos de Hans de Vries

3.1 Propagación de la señal: el reloj de fotones que rebota La ecuación de onda clásica nos dice que la propagación está en el cono de luz, y la velocidad de propagación es c. Con esto como punto de partida, mostraremos que debemos esperar que los procesos físicos que se mueven progresen más lentamente que cuando están en reposo.

Con la ayuda de un reloj de fotones que rebota y bellas imágenes (Figura 3.1: Reloj de fotones que rebota, en reposo (izquierda), en movimiento (derecha))
, analiza dos configuraciones (rebote vertical u horizontal en el movimiento) para demostrar que...
Su La explicación es tan sencilla y los gráficos son tan claros que merece la pena consultar ese documento.

EDITAR AGREGAR:
para facilitar la interpretación, publicaré esa cifra junto con algunas palabras:

situación A
en la parte superior izquierda: un reloj A en reposo, la distancia entre las caras es siempre L, incluso cuando está en movimiento
en la parte superior derecha: el mismo reloj A en movimiento con v velocidad a la derecha
”tick” y ”tock” son iguales en duración, siendo 'tick' el intervalo de tiempo para que el fotón se desplace de los espejos de arriba a los de abajo y 'tock' ídem de abajo a arriba;

El fotón se mueve en las diagonales (las flechas) con la velocidad de la luz c La componente vertical de la velocidad que determina la duración de los tics es así$\sqrt{c^2-v^2}$y la duración de los tics para una distancia 2L entre los espejos se convierte en:
$T_{tick}+T_{tock}=\frac{2L}{\sqrt{c^2-v^2}}=2\gamma L/c$

situación B - Las dos imágenes inferiores

En el caso, donde el fotón rebota horizontalmente obtenemos una asimetría. El fotón que se mueve junto con los espejos en la misma dirección tarda más tiempo en ir de un espejo al otro que el fotón que se mueve en la dirección opuesta a los espejos. Los tiempos$T_{tick}$y$T_{tock}$son diferentes.
$T_{tick}+T_{tock}=\frac{\lambda/L}{c-v}+\frac{\lambda/L}{c+v}=2\gamma L/c$

Sin embargo, en ambos casos el tiempo total para el tic más el tac es$=2\gamma L/c$, en comparación con un tiempo total de$=2L/c$ para un reloj en reposo . En ambos casos, el reloj corre más lento por un factor$\gamma$. El factor$\gamma$que determina la dilatación del tiempo.

Nótese la concordancia con el texto de Einstein (1905)
Nota: a mayor intervalo de tiempo, en comparación con el de reposo, para realizar el mismo TickTack, corresponde una frecuencia de reloj más lenta.

Para evitar interpretaciones incorrectas descompondré la imagen inferior derecha en dos, correspondientes al mismo espejo B en el momento$t_0$(fotón moviéndose hacia la derecha) y el tiempo$t_0+\delta t$(fotón moviéndose hacia la izquierda, después de la reflexión) y

El documento merece una mayor atención, finalmente, explica la paradoja de los gemelos.

Una observación más detallada de la figura 3.1 muestra que la longitud de onda de la luz cambia cuando... el efecto Doppler sobre los fotones... ... Aún más interesantes son los frentes de onda diagonales

( este video 'Teoría de la relatividad explicada en 7 minutos' en 1'30" puede aclararte la mente, espero)