¿Por qué la dilatación del tiempo te hace envejecer más lentamente? ¿Y el tiempo se considera relativo al observador?

Hay dos nociones de tiempo que encontrará en la relatividad especial, "tiempo coordinado" relativo a un marco de referencia inercial , y el "tiempo propio" medido por un reloj que puede o no estar moviéndose en un camino inercial a través del espacio-tiempo. Si elige dos eventos, como el evento de dos gemelos que se separan y el evento posterior de que se reencuentren, entonces diferentes marcos de inercia pueden estar en desacuerdo sobre la cantidad de tiempo coordinado entre estos dos eventos, por lo que esa versión del tiempo es " en relación con el observador". Sin embargo, la cantidad de tiempo propio que medirá cada gemelo a lo largo de su propio camino a través del espacio-tiempo (su propia línea del mundo) es un hecho objetivo que no depende de la elección del marco de referencia.predecir cuánto tiempo adecuado$\tau$cada gemelo medirá, si conocen la velocidad coordinada del gemelo en función del tiempo coordinado$v(t)$, medida en su propio marco de referencia. En ese caso, el tiempo propio transcurrido mide el gemelo entre dos eventos que ocurren en tiempos coordinados$t_0$y$t_1$está dada por la fórmula$\int_{t_0}^{t_1} \sqrt{1 - (v(t)/c)^2} \, dt$

Probablemente no entiendas esa fórmula ya que indicaste que sabes álgebra pero no cálculo, pero hay un caso especial que podrías seguir mejor. Supongamos que el gemelo se mueve a una velocidad coordinada constante$v$(es decir, el gemelo se movía inercialmente) durante el intervalo de tiempo en el que queremos calcular su tiempo propio. En ese caso, en un intervalo de tiempo de coordenadas de$\Delta t$, el gemelo envejecerá en el momento adecuado$\Delta \tau$según la fórmula$\Delta \tau = \sqrt{1 - (v/c)^2} \Delta t$, o equivalente$\Delta t = \frac{\Delta \tau}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$. Esto es lo que generalmente se da para la fórmula de "dilatación del tiempo" en la relatividad especial, que muestra cómo un reloj que se mueve en relación con un marco de referencia dado también se retrasará en relación con ese marco, en términos de la velocidad a la que marca (la velocidad su tiempo propio aumenta) en comparación con el tiempo coordinado en el cuadro. Solo como ejemplo, si un reloj se mueve a las$v=0.8c$por un intervalo de tiempo$\Delta t$de 10 años en las coordenadas de mi marco de referencia, puedo predecir que el reloj transcurrirá un tiempo adecuado$\Delta \tau$de sólo$\sqrt{1 - 0.8^2} * 10$= 6 años.

Dado que la dilatación del tiempo compara el tiempo adecuado con el tiempo coordinado, y el tiempo coordinado depende del observador (el tiempo coordinado entre un par de eventos dado depende del marco de referencia inercial que use), la cantidad de "dilatación del tiempo" un reloj dado experiencias también depende del observador. Pero como dije, la cantidad total real de tiempo propio que experimenta un reloj dado entre dos eventos que suceden a su lado no depende del observador. Esto significa que puedes tener una situación como la paradoja de los gemelos., donde dos gemelos que llevan relojes se separan, se separan a velocidad constante por un rato, y luego uno acelera para dar la vuelta y se acercan, y cuando finalmente se reencuentran descubren que el gemelo que aceleró para dar la vuelta ha experimentado menos tiempo propio total en total que el gemelo que permaneció a velocidad constante durante todo el viaje. Los diferentes fotogramas pueden estar en desacuerdo sobre qué gemelo envejecía más rápido durante cualquier "etapa" particular del viaje a velocidad constante; por ejemplo, aunque el gemelo que acelera envejece menos en total , hay un fotograma en el que ese gemelo envejecía más rápido .que el gemelo que no acelera durante el primer tramo del viaje mientras se estaban separando. Pero ese marco encontrará que después de que el gemelo acelere y cambie de velocidad, el gemelo ahora se moverá a una velocidad más rápida durante la segunda etapa del viaje, donde la distancia entre los dos gemelos se está reduciendo, por lo que el gemelo que aceleró estará envejeciendo. más lento durante este tramo, y cuando se suma el envejecimiento en ambos tramos, este marco coincide con todos los demás fotogramas en que el gemelo que aceleró envejece menos en total .

En cuanto a "por qué" esto es cierto, en física la única forma de abordar las preguntas de "por qué" sobre fórmulas particulares como la dilatación del tiempo es derivarlas de otras suposiciones. Como dijo Moonraker, la dilatación del tiempo se puede derivar de los dos postulados fundamentales de la relatividad especial, que exigen que la velocidad de la luz sea constante en todos los marcos de referencia inerciales y que las ecuaciones de las leyes de la física tengan el mismo aspecto cuando se expresan en las coordenadas de diferentes marcos de referencia inerciales. Y también hay analogías que pueden ser útiles para la intuición: en el caso del tiempo coordinado frente al tiempo propio, existe una analogía cercana con la geometría plana ordinaria (la geometría de una superficie 2D), donde uno puede medir la longitud a lo largo de un camino particular (como una línea recta) entre dos puntos finales, y uno también puede medir la diferencia en alguna coordenada como la coordenada y para cada punto, en el contexto de un sistema de coordenadas cartesiano definido en el plano .

Tenga en cuenta, por ejemplo, que si conoce la diferencia en la coordenada x$\Delta x$y la diferencia en la coordenada y$\Delta y$para un par dado de puntos en coordenadas cartesianas, entonces, de acuerdo con la fórmula de Pitágoras, la distancia a lo largo de una trayectoria en línea recta entre esos puntos es$\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$, que es equivalente a$\sqrt{1 + (\Delta x / \Delta y)^2} * \Delta y$. Esto se parece mucho a la fórmula para la dilatación del tiempo de un reloj cuya velocidad está en la dirección x de un marco inercial, ya que en ese caso la velocidad de las coordenadas del reloj$v$se puede expresar como$\Delta x / \Delta t$, la distancia que recorre el reloj en un tiempo determinado en este sistema de coordenadas, lo que significa que el tiempo adecuado transcurrido en el reloj es$\sqrt{1 - (\Delta x / \Delta t)^2} * \Delta t$según la fórmula de la dilatación del tiempo. Aparte de cambiar un signo positivo a un signo negativo, esto es como la fórmula anterior para la distancia entre puntos en un lugar 2D, excepto con una coordenada t en lugar de una coordenada y. El signo negativo te dice que la geometría del espacio-tiempo no es exactamente como la geometría del espacio 2D (es más como la geometría del plano complejo , si estás familiarizado con esa idea), pero conceptualmente es muy similar.

Una diferencia importante introducida por el signo menos es que, mientras que en la geometría espacial 2D una línea recta es siempre el camino más corto entre puntos, en el espacio-tiempo un camino "recto" a través del espacio-tiempo entre dos eventos (es decir, el camino de un reloj que se mueve inercialmente, a velocidad constante). velocidad) es siempre el que tiene el tiempo propio más largo , y es por eso que en la paradoja de los gemelos, el gemelo que se mueve inercialmente entre la partida y el reencuentro ha envejecido más que el gemelo que aceleró para dar la vuelta (es decir, su camino a través del espacio-tiempo es no inercial).

Usted pregunta por el motivo de la dilatación del tiempo, así que supongo que sabe qué es la dilatación del tiempo (hay muchas preguntas en este foro y también en Wikipedia para obtener información sobre la dilatación del tiempo).

La dilatación del tiempo es un fenómeno del espacio-tiempo. El espacio-tiempo es 4D, pero siguiendo los principios de la relatividad especial, la cuarta dimensión del tiempo es diferente de las dimensiones del espacio.

El segundo postulado de la relatividad especial nos dice que la velocidad de la luz es constante para cualquier observador. Esto implica (por razones matemáticas y geométricas) un concepto de espacio-tiempo donde el intervalo de espacio-tiempo de la luz y las partículas que se mueven a la velocidad de la luz es siempre 0 (representado en forma de cono de luz en el diagrama de espacio-tiempo de Minkowski) que está en contradicción con la geometría 4D de tiempos pasados. En consecuencia, el intervalo de espacio-tiempo de las partículas que se mueven cerca de la velocidad de la luz se reduce fuertemente. Su intervalo de espacio-tiempo es su propio tiempo, que es menor que el tiempo medido por los observadores que no se mueven a la velocidad de la luz.

Esta geometría del espacio-tiempo también se aplica a ti: si te estás acercando a la velocidad de la luz durante un viaje espacial, envejecerás menos que tu gemelo en la Tierra.