¿Por qué los relojes de dos observadores no miden el mismo tiempo entre los mismos eventos?

La persona A en el marco de referencia A observa a la persona B viajar de la estrella 1 a la estrella 2 (una distancia de d). Por supuesto, desde el marco de referencia de la persona B, él está en reposo y observa a la Estrella 2 viajar hacia él.

Ahora sabemos por el principio de la relatividad, cada uno medirá el reloj del otro como más lento que el suyo propio.

Digamos que la Persona A mide que la velocidad de la Persona B es v, y que la Persona A mide 10 años para que la persona B llegue a la Estrella 2. Digamos también que la persona B se mueve a una velocidad tal que el Factor Gamma es 2. Esto significa que la persona A observa que el reloj de la persona B ha transcurrido un tiempo de 5 años.

Ahora veamos esto desde la perspectiva de la Persona B:

La persona B observa que la estrella 2 se acerca (y la estrella 1 se aleja) de él también a una velocidad v. Dado que las dos estrellas se están moviendo, la distancia entre ellas se contrae en longitud (después de todo, si hubiera una regla entre las estrellas, la regla en movimiento se contraería) por un factor de 2. Dado que la persona B mide la distancia inicial a la estrella 2 en d/2 y su velocidad v, calcula el tiempo hasta la llegada de la estrella 2 en 5 años. Dado que observa que el reloj de la persona A va lento (dado que la persona A también se mueve a una velocidad v), cuando llega la estrella 2, mide que el reloj de la persona A ha transcurrido un tiempo de 2,5 años.

¿Ves por qué estoy confundido? La Persona A mide el tiempo transcurrido de la Persona B para que sea el mismo que la Persona B mide el tiempo transcurrido de la Persona B (ambos 5 años), pero la Persona B no mide el tiempo transcurrido de la Persona A para que sea el mismo que la Persona A mide el tiempo transcurrido de la Persona A (Persona B obtiene una medida de 2,5 años mientras que la Persona A mide 10 años). Esto es asimétrico, lo que probablemente significa que está mal. Pero no estoy seguro de cuál es el error.

Sospecho que si hubiera hecho esto correctamente, cada persona debería medir su propio tiempo transcurrido como 10 años y medir el tiempo transcurrido del otro como 5 años. Esto sería simétrico y tendría más sentido, pero nuevamente, parece que no puedo justificar cómo la persona B no mediría su tiempo de viaje en 5 años.

¿Cuál es mi error?

Respuestas (2)

Todo lo que ha dicho describiendo la situación en su pregunta es correcto; La persona A y la persona B no están de acuerdo sobre cuánto tiempo transcurre en el reloj de la persona A entre los dos eventos. (El primer evento es la Persona B saliendo de la Estrella 1 y el segundo evento es la Persona B llegando a la Estrella 2) Esto no es una contradicción lógica. Se deriva de la relatividad de la simultaneidad y del hecho de que el tiempo entre dos eventos es diferente en diferentes marcos de referencia.

El tiempo entre dos eventos se minimiza cuando la separación espacial entre ellos es cero porque el intervalo

Δ s 2 = Δ t 2 − Δ X 2

es invariante (igual para todos). Por lo tanto, la persona B percibe el tiempo mínimo posible entre los dos eventos, que es de 5 años. La persona A percibe cierta separación espacial entre los eventos y, por lo tanto, percibe un tiempo más largo entre ellos (10 años).

Podemos usar esta información para calcular la velocidad. v . Para la Persona A, Δ t 2 − Δ X 2 = 5 2 porque esa es la respuesta para la Persona B, y debe ser la misma para A. Sabemos Δ t 2 = 100 , entonces

100 − Δ X 2 = 25

o

Δ X = 75 = 5 3

v es entonces

v = Δ X Δ t = 5 3 10 = 3 2

La situación no es simétrica con respecto a A y B porque A no se mueve con respecto a las estrellas, pero B sí. La existencia de las estrellas rompe la simetría. Una situación simétrica sería si A y B comienzan en sus propias estrellas y luego se encuentran en el medio.

Otro escenario simétrico sería dejar que B comience a alejarse de A. Cuando el reloj de A marque 10 años, pregúntele qué marca el reloj de B. Cuando el reloj de B marque 10 años, pregúntele qué marca el reloj de A. En ese caso, ambos dirían que el reloj del otro marca 5 años.

Entonces, si la configuración del problema es simétrica con respecto a A y B, sus respuestas también deberían serlo. Debido a que este problema no tiene esa simetría, las respuestas que dan A y B no tienen la simetría.

Finalmente, puede que le preocupe que la Persona A piense que el tiempo entre los dos eventos es de 10 años, pero según la Persona B, el reloj de la Persona A indica que solo han transcurrido 2,5 años. Esto se debe a la relatividad de la simultaneidad. Según la Persona B, está llegando a la Estrella 2 y consultando el reloj de la Persona A simultáneamente. Sin embargo, esos eventos tienen una gran separación espacial. Según la Persona A, no son simultáneos. La persona A piensa que la persona B ha consultado su reloj demasiado pronto.

Creo que la respuesta a la pregunta formulada es solo el último párrafo. Es un problema de simultaneidad y no de simetría entre los observadores (la presencia de las estrellas no tiene nada que ver, ya que están allí sólo para significar dos eventos espaciotemporales).
@Vagelford No estoy de acuerdo. El OP estaba claramente confundido por el hecho de que las dos personas no informan los mismos tiempos en los relojes de los demás. Eso significa que el OP pensó que había una simetría que no existía. Eso hace que sea importante señalar que no existe tal simetría. Sí, las estrellas simplemente marcan eventos, pero dados dos eventos separados en el tiempo, existe un marco de referencia en el que ocurren en el mismo lugar, por lo que selecciona un marco de referencia "especial". Esa es la confusión que expresó el OP y eso es lo que estaba abordando.
Bueno, el punto es que la simetría está ahí cuando estás interesado en cosas como velocidades de reloj y longitudes de barras medidas por observadores, pero la simetría desaparece cuando hablas de cosas como intervalos de tiempo, ya que entonces tienes que tener en cuenta la cuestión de la simultaneidad de los eventos que definen los intervalos. No estoy en desacuerdo con lo que dices. Sólo estoy tratando de poner mi dedo en el tema.
@Vagelford Bien, creo que es una buena manera de decirlo. Gracias.

La respuesta de Layman aquí. Primero tenemos que limpiar un poco el experimento mental.

En los textos de relatividad, es común que este tipo de experimentos mentales usen observadores estacionados en los puntos en cuestión, de modo que se pueda ignorar el retraso en el viaje de la luz. Como parte de la configuración del experimento mental, la Persona A tendría a alguien cuyo reloj esté sincronizado con el reloj de A estacionado en la Estrella 2; llamemos a ese alguien A2. Cuando dices "La persona A necesita 10 años para que la persona B llegue a la estrella 2", un texto de relatividad entendería que esto significa que B observa que el reloj de A2 muestra que han transcurrido 10 años cuando B pasa por A2. Y cuando dices "para que la persona B llegue a la estrella 2... la persona A observa que el reloj de la persona B ha transcurrido un tiempo de 5 años", un texto de relatividad consideraría que esto significa que A2 observa que el reloj de B ha transcurrido 5 años. cuando B pasa por A2. (Un texto de relatividad podría suponer que tanto A'

Ahora nos preguntamos, si el reloj de A2 funciona a la mitad de la velocidad medida en el marco de B, ¿cómo podría el reloj de A2 transcurrir el doble del tiempo que transcurrió el reloj de B, cuando B llega a A2? ¿No transcurriría el reloj de A2 la mitad del tiempo (2,5 años)? La respuesta es que el reloj de A2 no transcurrió el doble del tiempo que transcurrió el reloj de B; efectivamente transcurrió la mitad, 2,5 años. Si B tuviera un ayudante B2 en reposo en el marco de B y pasando por A2 en el momento en el marco de B en que B pasa por A, B2 notaría que el reloj de A2 no está en 0 sino en 7,5 años. La diferencia entre t=0 y t=7,5 se explica por la relatividad de la simultaneidad. Según lo registrado por observadores en reposo con respecto al marco de B y registrado simultáneamente en ese marco, relojes cercanos en reposo con respecto al marco de A (y sincronizados en A'

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