Relleno de bandas energéticas

El teorema de Bloch establece que los valores propios y los vectores propios de un hamiltoniano periódico de un electrón se pueden etiquetar mediante los vectores de onda de Bloch.$\bf k$acostado en la primera zona de Brillouin. Para cada$\bf k$hay un conjunto infinito de soluciones del problema de valor propio, etiquetado por otro número cuántico,$n$, el índice de la banda. Los valores propios$E_n({\bf k})$depender de ambos$n$y$\bf k$, siendo funciones continuas de$\bf k$. Cada función$E_n({\bf k})$, en fijo$n$, y para$\bf k$en la primera zona de Brillouin, hay una banda de energía .

Los autoestados de un electrón$\psi^{(n)}_{\bf k}({\bf r})$se puede utilizar para construir un totalmente antisimétrico$N_e$-Función de onda del estado fundamental de los electrones mediante el uso de los vectores propios más bajos en un determinante de Slater donde cada estado espacial ingresa dos veces, una vez multiplicado por una función de onda de giro hacia arriba y luego multiplicada por una función de onda de giro hacia abajo.

Llenar la n-ésima banda es una expresión pictórica equivalente a decir que todos los$\bf k$estados de la$n$-ésima banda aparece en el determinante de Slater con doble ocupación (para tener en cuenta el espín)

En un cristal periódico finito (se puede obtener utilizando condiciones de contorno periódicas 3D ( pbc )), hay un número finito de${\bf k}$vectores en la primera zona de Brilluoin, exactamente iguales al número total$N$de células en el cristal pbc . Entonces, todos los$N$ orbital ${\bf k}$estados de una banda pueden acomodar un máximo de$N_e=2N$electrones

Para tener la energía más baja posible (el estado fundamental), uno tiene que "llenar", es decir, usar los estados de un electrón, ordenando los valores de$E_n({\bf k})$, partiendo de los valores más bajos y utilizando todos los estados en orden creciente de energía hasta el número de valores utilizados de$n$y${\bf k}$es exactamente igual a$\frac{N_e}{2}$(recuerde que hay dos valores de giro para cada$n$y${\bf k}$).

Para aisladores y semiconductores, tal llenado ordenado de estados de un electrón se detiene cuando todos los${\bf k}$Se han utilizado valores de un número finito de bandas. El primer estado vacío está separado del estado lleno más alto por una brecha finita de energía. Las cosas son más complejas en el caso de los metales porque en ese caso no hay un espacio que separe claramente las bandas llenas y vacías y aparecen bandas parcialmente llenas.

Acerca de la pregunta n.2, el silicio, en su estructura cristalina de equilibrio en condiciones normales, es un semiconductor con estructura de diamante . La estructura del diamante no es una red de Bravais pura, pero puede describirse como una red fcc con una base de 2 átomos. Si el cristal de tamaño finito pbc contiene$N$células, habrá$2N$átomos Cada átomo contribuirá a las bandas de valencia con$4$electrones ($3s^23p^2$configuración electrónica del átomo). En total, el cristal de tamaño finito tendrá$N_e=8N$electrones de valencia. En consecuencia, el número de bandas llenas será$4$.