¿Cómo dar sentido a las múltiples bandas obtenidas para cristales de múltiples átomos por celda unitaria, como el grafeno?

El grafeno tiene una red de panal que se puede describir como una red triangular pero con dos átomos por celda unitaria. Por lo tanto, al resolver la estructura de bandas del grafeno, expandimos la función de onda de esta manera: (descripción completa en las notas de clase )

ψ k ( r ) = a k ψ k A ( r ) + b k ψ k B ( r ) ( 1 )

dónde ψ k A y ψ k B son funciones de onda de Bloch. En expansión ψ k A y ψ k B basado en uno de los orbitales atómicos (digamos pag z orbitales, que conducen a los conos de Dirac), finalmente podemos escribir la ecuación de Schrödinger usando un 2 × 2 Hamiltoniano (debido a la forma de la función de onda y los dos a y b coeficientes en ( 1 ) , que es causado por la existencia de dos átomos por celda unitaria ). Encontrar los valores propios de este 2 × 2 Hamiltoniano, llegamos a los dos π bandas de energía:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Incluso podemos escribir la función de onda anterior en forma de espinor (ver las notas de la lección , ecuación ( 2.29 ) :

Ψ k = ( a k b k )
y por lo tanto definir un pseudospin.

Si bien las matemáticas parecen bastante claras, no sé cómo pensar en las dos bandas resultantes, ya que se obtienen para dos electrones en lugar de uno.

¿Son las dos bandas resultantes realmente dos bandas diferentes , como dos bandas diferentes de un cristal simple de un átomo por red como el silicio? Si no es así, ¿cuáles son las diferencias?
Por ejemplo, cuando dos bandas diferentes se tocan en algún k para el silicio, tenemos una degeneración doble. ¿Es lo mismo aquí en un cono de Dirac donde los dos π las bandas se tocan?

creo que los dos π Se puede pensar en las bandas como descendientes de bonding y antobonding. π orbitales (ver, por ejemplo, isite.lps.org/sputnam/LHS_IB/IBChemistry/UNIT4ChemBonding/… ). O, en otras palabras, puedes imaginar que la celda elemental con dos átomos de carbono y dos electrones es un "átomo" compuesto con dos "orbitales" compuestos, que son las superposiciones simétricas y antisimétricas de π orbitales en dos átomos de carbono (¡y tienen energías diferentes!). La unión de estos "átomos" compuestos da como resultado la formación de dos bandas de energía a partir de estos "orbitales" compuestos.
@AlexeySokolik Parece una pista plausible, ya que la notación de las bandas es π y π ∗ también. Gracias.

Respuestas (1)

Las dos bandas no significan dos electrones. De hecho, estamos resolviendo la estructura de bandas para un solo electrón . Los estados de un solo electrón son puntos discretos en la superficie de su gráfico con espaciado 2 π L dónde L es el tamaño de su sistema. La suposición clave que hicimos aquí es:

La interacción entre los electrones es débil y puede ignorarse.

Por lo tanto, somos capaces de llenar de electrones a estos estados de menor energía a los de mayor energía.

Para encontrar el nivel de Fermi mi F , podemos contar el número de estados (por debajo del nivel de Fermi, se llenan todos los estados de un solo electrón). Suponga que su grafeno tiene norte células y cada célula contiene 2 átomos y aporta 2 electrones. Totalmente, hay 2 norte electrones Conocemos el número de k puntos en el 1 la zona de st Brillouin es igual a norte (cf. libro de texto de física de estado sólido como Kittel). Por lo tanto, el número de estados en la banda inferior es 2 norte (dos proviene de dos espines), que resulta ser el número de electrones.

La imagen de muchos cuerpos del grafeno es su gráfico con todos los estados en la banda inferior llena (nivel de Fermi mi F = 0 ).

Decíamos que el grafeno tiene dos bandas que se tocan y forman conos de Dirac. Aquí hay una ambigüedad ya que dos bandas generalmente significan una brecha distinta de cero entre dos espectros de energía. En el grafeno, en los dos puntos de Dirac se cierra la brecha. Debido a que solo se tocan en dos puntos y en realidad no se superponen, todavía los llamamos dos bandas . Esto es solo un problema de terminología y no afecta su física.

Para el caso del silicio que mencionó, diferentes bandas pueden cruzarse y tener una degeneración doble. Este tipo de degeneración puede eliminarse con una pequeña perturbación. Sin embargo, los conos de Dirac en el grafeno son robustos en el sentido de que ninguna pequeña perturbación puede abrir la brecha. Esto está relacionado con el grafeno. C 3 simetría de rotación y simetría de inversión. El argumento detallado se puede encontrar en los aisladores topológicos y los superconductores topológicos de Bernevig , Capítulo 7.

Gracias por la respuesta. Otra confusión: ¿Cuál es la degeneración de la energía mi = 0 en este caso para el grafeno? ¿Es degenerado doble (como se indica en mis notas ), o cuádruple, ya que tenemos dos conos distintos, cada uno de ellos degenerado dos veces en mi = 0 (porque π y π ∗ tocar en mi = 0 )?
En un punto K, hay una degeneración de 4 veces debido a pseudoespines y espines. Se puede escribir un hamiltoniano efectivo de baja energía para un sistema similar al grahpeno. Es una matriz de 8x8 etiquetada por espín, puntos k , k ′ , y subred A , B . En este caso, tienen 8 estados de energía cero (si no rompemos la simetría del grafeno) ya que incluye dos k puntos.
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