¿Cómo escribir el hamiltoniano de Fröhlich en una dimensión?

Actualmente estoy trabajando en un problema de análisis (funcional) refinando el Ansatz de Pekar (o aproximación adiabática, como se le llama en su hermoso manuscrito de 1961 "Research in Electron Theory of Crystals").

De todos modos, tengo dos preguntas relacionadas, que los miembros de esta comunidad pueden encontrar simples.

El hamiltoniano de Fröhlich se da de la siguiente manera en tres dimensiones

H = pag 2 + ∑ k a k † a k − ( 4 π α V ) 1 2 ∑ k [ a k | k | mi i k ⋅ X + a k † | k | mi − i k ⋅ X ]

El escenario físico aquí es un electrón moviéndose en un cristal tridimensional. Cada k significa un modo (vibratorio) del cristal.

Si nos restringimos a solo un cristal unidimensional, ¿por qué el hamiltoniano se puede escribir de la siguiente manera?

H = pag 2 + ∑ k a k † a k − ( 4 π α V ) 1 2 ∑ k [ a k mi i k ⋅ X + a k † mi − i k ⋅ X ]

Es decir, ¿por qué dejamos caer el | k | factor en el tercer término?

Además, veo cómo los operadores de creación y aniquilación funcionan en el espacio de Fock (bosónico) (refiriéndose al cristal aquí), especialmente cuando escribimos el operador de creación en la forma ∑ k = 0 ∞ ( a † ) k k ! | 0 ⟩ = | k ⟩ . Es decir, el operador de creación salta de un estado tensor en Fock Space al siguiente. Sin embargo, también veo la forma a k = 1 2 ( k + d d k ) . ¿Cómo se conectan las dos formas? ¿Cómo piensas intuitivamente en la última forma? Por ejemplo, pensé en la primera forma como el operador de creación saltando de un estado en el espacio fock al siguiente, pero no estoy muy seguro de la última forma.

Esta es una buena pregunta, pero creo que sería mejor hacerla como dos partes separadas. Como regla general, debería poder escribir su pregunta en el título y (tal vez solo sea yo, pero) no creo que sus dos preguntas estén lo suficientemente relacionadas como para hacerlo de manera sucinta. Sugeriría eliminar la segunda pregunta de esta publicación y publicarla por separado.
¿Puede dar la referencia exacta que dice que puede soltar el |k|? Es posible que haya leído mal una manipulación no trivial que podría ser evidente en el contexto.
Además, la ecuación que tienes para | k ⟩ no tiene sentido --- no hay libre k índice en el lado izquierdo...
@genneth: La "k" en la fórmula es un número de ocupación a la derecha, pero se suma a la izquierda. Iba a arreglarlo para que fuera una "n", pero indica una confusión conceptual. rg: Cada modo k debe tener un número de ocupación entero separado n, y la fórmula que escribió para la acción del operador de creación está en un solo número de ocupación.

Respuestas (1)

La respuesta a tu segunda pregunta es simple. Para un oscilador armónico, los operadores de creación y aniquilación están relacionados con los operadores x y p por (hasta una elección de unidades):

a = X + i pag
a † = X − i pag

Escribiendo el operador x como i ∂ ∂ pag reproduce su fórmula (hasta las fases y los signos, las fases y los signos anteriores son correctos en las convenciones físicas habituales), con p desempeñando el papel de k. La k en su fórmula debe interpretarse como el operador k.

Este es el problema del polarón, que se estudió intensamente a mediados de la década de 1950, después de que Frohlich dedujera del efecto isotópico que las interacciones entre fonones y electrones debían ser responsables de la superconductividad. Los osciladores son los modos de fonones, el 1 sobre |k| te dice que los fonones de longitud de onda larga son singulares, pero no sé la respuesta a la primera pregunta, porque la identidad es superficialmente imposible, porque una de las dos formas será dimensionalmente inconsistente. Si proporciona una referencia para corregir las convenciones, uno puede decidir cuál es la correcta, y quizás esto sea un simple malentendido. Los fonones en su descripción tienen exactamente la misma frecuencia, por ejemplo, lo cual es incorrecto --- la dispersión de los fonones debería hacer que el segundo término ∑ k | k | a † a ps

El usuario wsc me dice que el hamiltoniano de Frohlich se usa para modelar las interacciones con fonones ópticos. Estos tienen una dispersión plana, por lo que la parte del fonón está bien como la escribiste.

Esto también es muy común en la óptica cuántica, donde la variación en x e y corresponden a fluctuaciones de intensidad y fase respectivamente.
La mayor parte de esto está bien, pero los hamiltonianos de Froehlich generalmente describen una interacción con fonones ópticos , por lo que la dispersión plana es correcta.
@wsc: Lo siento, leí mal tu comentario. Actualizaré la respuesta en consecuencia.
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