Relaciones de conmutación en QFT y el principio de localidad

Una forma de definir la separación de tipo espacial en la relatividad especial es que dos eventos cualesquiera están separados de forma espacial si y solo si existe un marco de referencia en el que los dos eventos tienen la misma coordenada de tiempo. Entonces si, si$x^0 = y^0$la separación es espacial.

Alternativamente, puede trabajar a partir de la definición donde dos eventos están separados como espacios si (y solo si) el intervalo entre ellos tiene el mismo signo que los componentes espaciales de la métrica. En otras palabras, si su convención métrica es$(-1,1,1,1)$, un intervalo espacial tiene$\Delta s^2 > 0$, o si usas$(1,-1,-1,-1)$, Tiene$\Delta s^2 < 0$. Si$x^0 = y^0$, entonces claramente el intervalo está determinado solo por las componentes espaciales, y necesariamente tendrá el mismo signo.

La razón por la cual las relaciones de conmutación entre un campo y su conjugado en tiempos iguales son de la forma

$$\left[\phi(t,\textbf{x}),\pi(t,\textbf{y})\right]=i\hbar\,\delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})$$ es solo reflejar y copiar las relaciones canónicas de conmutación hamiltonianas $[q_i,p_j]=i\hbar\,\delta_{ij}$. No hay causalidad involucrada, más bien es de alguna manera la definición de relaciones de conmutación de campo cuántico, que se emplean básicamente copiando las de la teoría clásica de partículas puntuales y extendiéndolas a infinitos grados de libertad.

Sin embargo, tenga en cuenta que los que están en los conmutadores no son operadores, sino que son distribuciones valoradas por el operador que tienen sentido como operadores solo cuando se mezclan con funciones de prueba adecuadas. Solo entonces podemos hablar de causalidad, porque tenemos una definición concreta de dominios espacialmente separados. Como tal, la definición correcta de causalidad en la teoría cuántica de campos es

$$\left[\phi(f),\varphi(g)\right]=0\qquad\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)=\textrm{space-like}.$$ Si calcula lo anterior en algunos casos simples, por ejemplo, para el campo libre de Klein-Gordon (o Dirac), verá que el lado derecho producirá un resultado que siempre se desvanece para distancias similares al espacio, debido a las propiedades de Lorentz. transformaciones (o de manera equivalente, cancelaciones en las integrales). Para las teorías que no son libres, el problema es mucho más sutil y, por lo general, las relaciones de conmutación deben imponerse en lugar de calcularse (a menos que conozca algunos trucos particulares).

En pocas palabras: la causalidad se refiere a los operadores manchados con funciones de prueba; no da información sobre las relaciones de conmutación de los operadores a tiempos iguales, que no son más que una mera extensión de la$q,p$Relaciones canónicas de conmutación. y si, si$x^0=y^0$, como señaló, los dos eventos están separados como un espacio ya que tiene al menos un marco de referencia (el que comenzó con) donde ocurren al mismo tiempo.