Coincidencia de eventos espaciotemporales e invariancia de Lorentz

¿Estoy en lo correcto al pensar que si dos eventos espaciotemporales coinciden en un marco de referencia, entonces coinciden en todos los marcos de referencia, es decir, la coincidencia de eventos espaciotemporales es un concepto invariante de Lorentz?

Si es así, ¿es la siguiente forma correcta de probar esta afirmación?

Dejar$x^{\mu}$y$y^{\mu}$ser las coordenadas de dos eventos de espacio-tiempo en algún marco inercial$S$. Supongamos que estos eventos son coincidentes en este marco, es decir$x^{\mu}=y^{\mu}$. Ahora, considere otro marco inercial$S'$. En este marco, las coordenadas espacio-temporales de los dos eventos son$x'^{\mu}$y$y'^{\mu}$respectivamente. Las coordenadas de los eventos en$S'$están relacionados con los de$S$por una transformación de Lorentz de la siguiente manera$x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}x^{\nu}$y$y'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}y^{\nu}$. Se sigue entonces, que como$x^{\mu}=y^{\mu}$en$S$,

$$x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}x^{\nu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}y^{\nu}=y'^{\mu}$$ y por lo tanto si los dos eventos son coincidentes en $S$, entonces también son coincidentes en $S'$. Además, como estos dos marcos inerciales se eligieron arbitrariamente, se deduce que esto es válido para cualquier marco inercial.

¿Es esta la razón por la que construimos densidades lagrangianas (en la teoría de campos) en términos de campos (y sus derivadas de primer orden) en un solo punto en el espacio-tiempo , ya que este es el único caso en el que la ubicación de una interacción es invariante de Lorentz? proporcionando así una noción invariante de localidad de Lorentz en la teoría?