En QFT, ¿por qué los fermiones tienen que ser anticonmutadores para asegurar la causalidad?

Aquí está la respuesta formal a su pregunta basada en el resultado particular del teorema de Pauli. Los cálculos son bastante engorrosos, pero son generales.

Campo fermiónico arbitrario (con invariancia bajo transformaciones discretas del grupo de Lorentz)

Se puede demostrar que cada campo de fermiones covariante de Poincaré con espín medio entero$s = n + \frac{1}{2}$y masa$m$se puede representar como

$$\tag 1 \hat{\varphi}_{a} = \sum_{\sigma = -s}^{s}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}}\left( u_{a}^{\sigma }(\mathbf p)\hat{a}_{\sigma}(\mathbf p)e^{-ipx} + v_{a}^{\sigma } (\mathbf p)\hat{b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)e^{ipx}\right),$$ dónde $$\tag 2 \hat{\varphi}_{a} = \hat{\varphi}_{\mu_{0}...\mu_{n}} = \begin{pmatrix}\hat{\psi}_{\mu_{0}...\mu_{n}b} \\ \hat{\kappa}_{\ \mu_{0}...\mu_{n}}^{\dot {b}} \end{pmatrix} \in \left( \frac{n + 1}{2}, \frac{n}{2}\right) \oplus \left( \frac{n}{2}, \frac{n + 1}{2}\right),$$ $b, \dot{b}$son índices de espinor, y $$\tag 3 \gamma^{\mu_{j}}\hat{\varphi}_{\mu_{0}...\mu_{j}...\mu_{n}} = 0, \quad (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\hat{\varphi}_{\mu_{0}...\mu_{n}} = 0,$$ $$\tag 4 \quad \partial^{\mu_{j}} \hat{\varphi}_{\ \ \mu_{0}...\mu_{j}...\mu_{n}} = 0, \quad u^{\sigma}_{a}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}v^{-\sigma }_{a}(\mathbf p).$$

Como puedes ver, por$n = 0$ecuaciones$(1)-(4)$dar el campo de Dirac.

El caso sin masa es el mismo, pero$\sigma$puede tomar solo los siguientes conjuntos de valores:$\{-s\}$,$\{s\}$, o$\{-s,s\}$.

Puede leer sobre los aspectos generales de las representaciones irreducibles de Poincaré que se realizan como una suma de campos de creadores y aniquiladores en Weinberg QFT Vol. 1 (capítulo sobre campos causales generales). ecuaciones$(3)-(4)$puede darse como requisito que el campo$(1)$se transforma bajo unas representaciones irreductibles del grupo de Poincaré con spin$s$y masa$m$.

Causalidad para teorías fermiónicas y anticonmutador

Del principio de causalidad debemos tener

$$\tag 5 [\hat{\varphi}_{a}(x), \hat{\bar{\varphi }}_{b}(y)]_{\pm} = 0, \quad (x - y)^{2} < 0 , \quad g_{00} = 1.$$ En $3 + 1$-espacio-tiempo dimensional y para partículas indistinguibles, el primer grupo de homotopía del espacio de configuración con 3 dimensiones espaciales es el grupo de permutación $S_N$. Esto significa que el intercambio en sentido horario y antihorario de dos partículas es igual y, por lo tanto, solo hay dos estadísticas posibles, Bose-Einstein o Fermi-Dirac, $$\tag 6 [\hat{a}_{\sigma}(\mathbf p ), \hat{a}^{\dagger}_{\sigma {'}}(\mathbf k) ]_{\pm} = \delta (\mathbf p - \mathbf k ) \delta_{\sigma \sigma {'}}.$$

usemos$(1)-(4)$y$(6)$para aclarar la estadística que es obedecida por campo$(1)$.

Tenemos usando estas ecuaciones y la identidad$[\gamma_{\mu} , \gamma_{5}]_{+} = 0$eso

$$\tag 7 [\hat{\varphi}_{a}(x), \hat{\bar{\varphi }}_{b}(y)]_{\pm} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}\left( u^{\sigma}_{a}(\mathbf p)\bar{u}^{\sigma}_{b}(\mathbf p) e^{-ipX} \mp \gamma_{5}u^{\sigma}_{a}(\mathbf p)\bar{u}_{b}^{\sigma}(\mathbf p)e^{ipX}\right),$$ dónde $X = x - y$y $\hat{\bar {\varphi}} = \hat{\varphi}^{\dagger}\gamma_{0}$.

Usando la segunda identidad de$(3)$y el requisito de la covarianza de Lorentz, se puede demostrar que$\sum_{\sigma}u^{\sigma}_{a}(\mathbf p)\bar{u}_{b}^{\sigma}(\mathbf p) = R_{ab}(p)$se puede representar de forma

$$R_{ab}(p) = (\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)P_{ab}(p),$$ dónde $P_{ab}(p)$se construye a partir de la suma de sumandos con un número par de momentos y un número par de matrices gamma y de sumandos con un número impar de momentos y un número impar de matrices gamma. Así que al usar $[\gamma_{\mu} , \gamma_{5}]_{+} = 0$de nuevo, podemos obtener $$[\hat{\varphi}_{a}(x), \hat{\bar{\varphi }}_{b}(y)]_{\pm} = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}\left( R_{ab}(p) e^{-ipX} \mp R_{ab}(-p)e^{ipX}\right) =$$ $$\tag 8 = R_{ab}\left( i\partial_{x}\right)(D(X) \mp D(-X)), \quad D(X) = \int \frac{d^{3}\mathbf p }{(2 \pi )^{3}2E_{\mathbf p}}e^{-ipX}.$$ Se puede demostrar que para $X^{2} < 0$, la función $D(X)$satisface la relación $D(X) = D(-X)$, entonces $(8)$desaparece si y solo si los campos fermiónicos tienen estadísticas de Fermi-Dirac.