¿Qué distingue el tiempo del espacio en la teoría cuántica de campos?

De hecho, eres libre de elegir cualquier dirección temporal como dirección en la que evoluciona el sistema. Por ejemplo, el formalismo ADM de la Relatividad General se basa en esta idea. En este formalismo, tomas una superficie similar al espacio tridimensional como nuestro mundo. Entonces el tiempo estará relacionado con la normal a esta superficie.

Se puede encontrar una muy buena descripción detallada de la construcción ADM en "A relativist's toolkit" de Poisson.

Supongo que la demanda de que la evolución debe ir en una dirección similar al tiempo está relacionada con algunas características de causalidad. Lo que es cierto es que no puedes hacer una rotación de Lorentz desde una dirección similar al espacio a una similar al tiempo.

Aquí dos hechos físicamente relevantes que distinguen el espacio del tiempo en el espacio-tiempo de Minkowski (sin embargo, todo lo que sigue se puede generalizar a cada espacio-tiempo con los requisitos adecuados).

1) Esto es general. Considere, en el espacio-tiempo de Minkowski, dos eventos$p$y$q$. Si$p$y$q$permanecer en el$3$-espacio de un marco de referencia, entonces entre las curvas con un vector tangente espacial que une estos puntos no hay la curva más corta , pero siempre puede encontrar una curva con una longitud más pequeña que cualquier fijo$\epsilon>0$. Obviamente, si consideras solo las curvas que se encuentran en el resto del espacio, existe la más corta: el segmento que une$p$y$q$.

Si$p$y$q$permanecer a lo largo de una curva con un vector temporal, por ejemplo, en el eje temporal de un marco de referencia, existe la curva más larga que los une (en lugar de la más corta).

2) Esto se refiere propiamente a la teoría cuántica de campos. Más precisamente a la resolución de campos$\delta \int_{\Omega} {\cal L}(\phi, \partial \phi) d^4x =0$con$\phi$desapareciendo en el límite de$\Omega$, también antes de ser cuantificado.

Suponiendo que el Lagrangiano es cuadrático en las primeras derivadas de$\phi$con la métrica$\eta$como forma cuadrática, obtienes ecuaciones para$\phi$.

Estas ecuaciones, para ser resueltas, necesitan condiciones iniciales . Es decir, tienes que asignar$\phi$y$\partial_n \phi$en un$3$-superficie, cuya$n$es el vector unitario normal.

Bien, el problema está bien planteado , es decir, existe una solución única y depende continuamente de datos iniciales (con una elección de topología adecuada y en una clase determinada o datos iniciales suficientemente regulares) si la superficie se puede describir por coordenadas espaciales , por ejemplo el resto$3$-espacio de un marco inercial (pero el resultado es general con algunos requisitos que no describo aquí). De lo contrario, si sólo una coordenada en el$3$-la superficie es temporal como el problema da lugar a alguna patología (falta de existencia, falta de unicidad o dependencia discontinua de los datos iniciales). Sin una buena postura de los datos iniciales, el problema de cuantificar campos (con algún significado indefinido de "cuantizar" ya que el procedimiento estándar no es factible) resulta ser muy difícil.

En la teoría de campos (clásica o cuántica), el tiempo se distingue por un observador (clásico). El observador se mueve a lo largo de una línea universal.$x(s)$parametrizado por su tiempo propio$s$, con derivada temporal$\dot x(s)$. Esto distingue una dirección del tiempo, y el espacio del observador es ortogonal a ella.

Los diferentes observadores generalmente tendrán diferentes direcciones de tiempo, y dos de ellos pueden convertirse entre sí mediante una transformación de Loretz adecuada.

Tenga en cuenta que la transformación de Loretz adecuada siempre transforma los vectores de tiempo en vectores de tiempo, nunca en vectores de luz, espacio, antiluz o antitiempo. (Por ejemplo, no existe una transformación de Lorentz que transforme el$t$-eje (es decir,$x_0$-eje) en el$x_1$-eje). Por lo tanto, uno no es completamente libre de seleccionar un subespacio 3D, sino solo aquellos subespacios afines 3D que son ortogonales a un vector temporal (y, por lo tanto, consisten en puntos mutuamente similares al espacio). Estos son de hecho completamente equivalentes, para cada uno hay un observador para el que define su espacio.

Consulte también el Capítulo A7: Tiempo y espacio en mis preguntas frecuentes sobre física teórica en http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html

Un área importante de QFT donde el tiempo es particularmente especial es el hecho de que el producto interno de dos campos se realiza sobre todo el espacio en un momento determinado (o sobre una hipersuperficie similar al espacio, si se encuentra en un espacio-tiempo curvo).

En la relatividad misma, el solo hecho de que la métrica sea (-+++), o (+---), dependiendo, ya tiene muchas consecuencias que separan el tiempo del espacio de muchas maneras, especialmente la estructura causal del espacio-tiempo.

Parece que, en principio, deberíamos poder elegir cualquier subespacio tridimensional de R4 y hacerlo fluir a lo largo de la variedad de espacio-tiempo.

Esto en particular es un problema porque si bien se ha demostrado que si tiene un espacio-tiempo que se comporta bien, puede tomar una hipersuperficie similar al espacio y "fluir" a lo largo de una curva similar al tiempo, un espacio-tiempo genérico con una hipersuperficie arbitraria puede no funcionar. Esto está relacionado con el problema de Cauchy de la relatividad general (la capacidad de extender la solución local de una PDE a todo el espacio-tiempo).

Como han señalado las otras respuestas, existen diferencias geométricas entre el espacio y el tiempo. Sin embargo, si desea saber "cómo evoluciona un campo", debe especificar a qué se refiere. Por ejemplo, generalmente asumimos que podemos medir un campo completo$\phi(x, y, z)$en cada punto del espacio en un momento específico. Sin embargo, existen aplicaciones en las que podría estar midiendo el campo en un plano específico en el espacio a lo largo del tiempo; en este caso, podría hacer que la dirección longitudinal normal al plano sea su variable independiente y el tiempo como una variable independiente. Esto es particularmente útil en problemas de valores límite, que no son un gran problema en QFT por lo que entiendo, pero podrían estar en otros lugares.

Esto aparece en las aplicaciones de física de aceleradores, donde es posible que desee especificar sus coordenadas en términos de una trayectoria ideal cerrada y desviaciones de ella, para lo cual su "tiempo" se interpreta como el tiempo de vuelo que tardó una partícula en llegar a ese punto. acimut particular en un anillo de almacenamiento.

Creo que en la práctica, para la mayoría de las aplicaciones teóricas de campo, el tiempo es simplemente la variable independiente más conveniente, ya que normalmente no se utiliza una transformación galileana de las coordenadas y no se trata de problemas de valores límite.