Interpretación de componentes de cuatro impulsos en QFT

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Interpretación de componentes de cuatro impulsos en QFT

usuario72829

En QFT relativista, generalmente se usa un vector de cuatro impulsos $P^\mu$ que combina la energía de un sistema con su cantidad de movimiento. Estoy confundido acerca de la interpretación física de los componentes individuales de $P^\mu$ .

Supongamos que la firma de la métrica es $(1,-1,-1,-1)$ . El componente cero $P^0=P_0$ tiene, claramente, la interpretación de la energía del sistema. Pero, ¿cuál es el momento espacial del sistema en la dirección de $x$ ¿eje? Lo es $P^1$ o $P_1$ ?

Creo que la mayoría de la gente considera $P^1$ como el $x$ componente del impulso espacial. Sin embargo, parece que las traducciones de espacio-tiempo se implementan de manera diferente en QM y QFT. En QM el estado $\psi$ del sistema desplazado en el tiempo por $t$ y en el espacio por $(x,y,z)$ es dado por

Exp (- \frac{i}{ℏ} t {PAG}^{0} - \frac{i}{ℏ} (X {PAG}_{X} + y {PAG}_{y} + z {PAG}_{z})) ψ,

$\exp\left(-\frac{i}{\hbar}~ t\,P^0 -\frac{i}{\hbar} ~(x P_x+y P_y + z P_z)\right) \psi,$

dónde $P^0\equiv H$ es el hamiltoniano del sistema y $P_x$ , $P_y$ , $P_z$ son los componentes físicos del impulso espacial. Por otro lado en QFT el estado $\psi$ del sistema desplazado en el espacio-tiempo por cuatro vectores $x=(t,x,y,z)$ es dado por

Exp (- \frac{i}{ℏ} PAG \cdot X) ψ = Exp (- \frac{i}{ℏ} t {PAG}^{0} + \frac{i}{ℏ} (X {PAG}^{1} + y {PAG}^{2} + z {PAG}^{3})) ψ,

$\exp\left(-\frac{i}{\hbar} P\cdot x\right) \psi= \exp\left(-\frac{i}{\hbar}~ t\,P^0 +\frac{i}{\hbar} ~(x P^1+y P^2 + z P^3)\right) \psi,$

que es equivalente a la fórmula anterior si $P_1$ es el momento espacial del sistema en la dirección de $x$ eje ( $P_1 = P_x$ no $P^1=P_x$ ).

una mente curiosa

¿Qué tiene esto que ver con QFT, o la mecánica cuántica, en absoluto? Pareces estar simplemente preguntando si es la parte espacial de

p^{μ}

$p^\mu$ o de

p_{μ}

$p_\mu$ eso corresponde al momento espacial no relativista habitual, que es una pura pregunta sobre la relatividad especial.

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Interpretación de componentes de cuatro impulsos en QFT

¿Qué tiene esto que ver con QFT, o la mecánica cuántica, en absoluto? Pareces estar simplemente preguntando si es la parte espacial de $p^\mu$ o de $p_\mu$ eso corresponde al momento espacial no relativista habitual, que es una pura pregunta sobre la relatividad especial.

Blazej · Answer 1

En general, en relatividad especial tienes $P^{\mu}=(E,\vec p)^{\mu}$ y $P_{\mu}=(E,-\vec p)$ si $+---$ se elige la firma de la métrica o $P_{\mu}=(-E,\vec p)_{\mu}$ de lo contrario. Me quedo con la primera opción en este post. En no relativista $QM$ tienes operadores $H=i \partial _t$ y $\vec p= -i \vec \nabla$ . Ahora recuerde (o verifique) que el operador derivado se transforma naturalmente como un covector, es decir, como si tuviera un índice más bajo. Entonces tenemos $\partial_{\mu}=(\partial_t, \vec \nabla)_{\mu}$ y $\partial ^{\mu} = (\partial_t, - \vec \nabla)^{\mu}$ . Por lo tanto, puede hacer una identificación. $P^{\mu}=i \partial ^{\mu}$ . Ahora, si actúas sobre una función de onda, obtienes

{mi}^{- i {PAG}^{m} a_{m}} ψ (t, \vec{X}) = {mi}^{a^{0} \partial_{t} + \vec{a} \cdot \vec{\nabla}} ψ (t, \vec{X}) = ψ (t + a^{0}, \vec{X} + \vec{a}) .

$e^{-iP^{\mu}a_{\mu}} \psi (t ,\vec x) = e^{a^0 \partial_t + \vec a \cdot \vec \nabla} \psi (t, \vec x) = \psi (t+a^0, \vec x + \vec a).$ Por lo tanto, creo que esta notación es bastante consistente. Nótese también que muy generalmente (también en, digamos, electromagnetismo y óptica) la dependencia espacial de una onda plana que se propaga en el

z

$z$ -la dirección es

e^{- i ω t + i k z}

$e^{-i \omega t + i k z}$ . Debe haber una diferencia de signo relativa entre estos dos términos en el exponente porque solo entonces las superficies de fase constante viajan en positivo (en lugar de negativo)

z

$z$ dirección.

Ahora puede surgir cierta confusión debido al hecho de que las coordenadas espaciales juegan papeles bastante diferentes en QM y QFT. En QM hay $\vec x$ El operador y las funciones de onda se pueden expandir en su base propia con coeficientes de expansión que son funciones de onda que dependen de $\vec x$ . Por otro lado $t$ es solo un parametro que etiqueta los estados del ket en diferentes momentos. En QFT no hay $\vec x$ operador, así como no $t$ operador.

Nótese que la función $\psi(\vec{x})$ desplazado por $\vec{a}$ debiera ser $\psi(\vec{x}-\vec{a})$ , no $\psi(\vec{x}+\vec{a})$ . Esta es la razón por la que la definición estándar de libro de texto del operador de traducción en QM es $U(\vec{a}) = \exp( - i/\hbar~ \vec{a}\cdot\vec{P})$ .
@ user72829 Tienes razón. Pero entonces la traducción en el tiempo sería $e^{itH}$ en vez de $e^{-itH}$ . En QFT no tienes evolución en el tiempo, porque el vector de estado codifica la historia completa del sistema. En su lugar, puede hacer una traducción en este historial, que se implementa mediante un operador unitario $e^{iP \cdot a}$ . Confronte el libro de texto QFT de Weinberg, volumen 1, capítulo 3, sección 1.

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Blazej

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Blazej

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