¿Relación entre soluciones a las ecuaciones de Yang-Baxter, integrabilidad y resolubilidad exacta?

Esta es una pregunta muy difícil. En una dimensión, una dispersión de dos cuerpos es la interacción mínima que puede tener. En múltiples dimensiones, puede tener más cuerpos dispersos como interacción mínima.

La ecuación de Yang Baxter es formalmente,

$$(R\otimes \mathbf{1})(\mathbf{1}\otimes R)(R\otimes \mathbf{1}) =(\mathbf{1}\otimes R)(R\otimes \mathbf{1})(\mathbf{1}\otimes R)$$ Esto se representa gráficamente como,

Básicamente dice que la dispersión de tres partículas se puede reducir a un problema de dos cuerpos. Entonces, no importa cuán grande sea el sistema bajo estudio, siempre podemos reducir las matrices de dispersión correspondientes a problemas de dos cuerpos.

Este ya no es el caso en dimensiones superiores y necesitamos generalizar la ecuación de Yang Baxter. Un ejemplo de esto es la llamada "ecuación del tetraedro" en 2+1 (o 3) dimensiones. Se llama así porque el gráfico anterior ahora parece un tetraedro. Consulte la figura 1 de este documento: http://arxiv.org/pdf/hep-th/9401076.pdf

Sin embargo, esta ecuación es muy difícil de trabajar y no se comprende bien.

En primer lugar, no existe una definición generalmente aceptada para la noción de "integrabilidad cuántica". Se utiliza en contextos diferentes, aunque estrechamente relacionados, y con definiciones que son las más apropiadas para el caso en cuestión. En analogía con el caso mecánico clásico, la idea subyacente es que el modelo debe admitir tantas simetrías 'compatibles', es decir, conmutadas, e independientes que pueda resolverse exactamente, al menos en principio.

El contexto discreto se ocupa de modelos físicos estadísticos en redes 2(+0)d o cadenas de espín cuántico en dimensión 1+1; tenga en cuenta que es realmente 2d lo que es especial: no se olvide del tiempo en la configuración cuántica. Aquí, la integrabilidad cuántica a menudo se considera como la presencia de una ecuación subyacente de Yang-Baxter, que a través de la construcción de matrices de transferencia conduce a muchas simetrías.

El otro contexto es el de las teorías de campo (cuánticas) en 1+1d. Aquí, el YBE para la matriz S expresa la dispersión factorizada, que es una condición de compatibilidad para la presencia de muchas simetrías. He tratado de explicar esto en la Sección 5.2 de estas notas , siguiendo una buena exposición de Witten. Esta vez, la relación entre conmutar simetrías independientes (que se podría llamar 'integrabilidad cuántica') y el YBE está más claramente asociada con un teorema de no-go. De hecho, en términos generales, la presencia de muchas simetrías de espacio-tiempo de la matriz S conduce a una teoría trivial (sin interacción) de Coleman-Mandula . En 2d, el argumento no se sostiene, sino que conduce a una dispersión factorizada.