Toro complejo, teorema KAM y difeomorfismos

Para la primera pregunta, la respuesta es sí. Considere el toro como$\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z})$, y un bucle con números sinuosos$(n,m)$como la imagen en este cociente de la recta que une$0$y$n+\tau m$en$\mathbb{C}$. entonces puedes ver$SL(2,\mathbb{Z})$como la matriz de un endomorfismo de$\mathbb{C}$visto como un$\mathbb{R}$-espacio vectorial con base$(1,\tau)$. Obviamente esta matriz transforma de la misma manera el punto$n+\tau m$y los periodos del toro.

Creo que estás mezclando algunos conceptos, aunque con un poco de cuidado, la mayoría puede tener sentido.

Un gran difeomorfismo de una variedad diferencial dada es una clase isotópica de difeomorfismos de esa variedad. Esto significa que dos difeomorfismos corresponden al mismo gran difeomorfismo si pueden transformarse uno en otro de forma diferenciable.

Como ejemplo (y en el caso del toro el ejemplo) de grandes difeomorfismos desiguales, considere diferentes giros de Dehn .

Cuando vas a toros complejos, estás hablando de mucha más estructura que una estructura diferenciable. En la determinación de su equivalencia, el grupo modular juega un papel, pero eso no tiene nada que ver con el gran grupo de difeomorfismo (como mucho de una manera muy indirecta). Tus dos toros complejos son equivalentes cuando las redes generadas por$(\omega_1, \, \omega_2)$y por$(\omega'_1, \, \omega'_2)$difieren por un número complejo. Las redes son exactamente iguales cuando una puede transformarse en la otra mediante una transformada de base, que corresponde a un elemento de$GL(2,\Bbb Z)$(nótese que estamos hablando de combinaciones lineales con coeficientes enteros). Estos tienen determinante$\pm 1$, por lo que si nos restringimos a bases ordenadas obtenemos$SL(2,\Bbb Z)$, el grupo modular. Tenga en cuenta que en ese caso no tenemos simplemente equivalencia, tenemos igualdad.

Tenga en cuenta que las redes no tienen que ser iguales para la equivalencia biholomórfica, solo homotética.

Para ir a su primera pregunta: el grupo de grandes difeomorfismos no transforma bucles en bucles (solo clases de bucles de homotopía). Sin embargo, actúa en el plano complejo, por lo que si su toro está definido por la red$(\omega_1, \omega_2)$, una transformación modular determina un difeomorfismo que mapea bucles en bucles, actuando sobre clases de homotopía como describe user40085, y de hecho esto corresponde a la acción de grandes difeomorfismos sobre clases de homotopía de bucles.

En cuanto a la segunda pregunta: de ninguna manera soy un experto en la teoría KAM, pero creo que tendrás que ser más preciso. Una trayectoria es una curva, nunca un toro, incluso en el espacio de fases. De hecho, creo que el teorema establece que tales trayectorias se encuentran en un toroen el espacio de fase. Tenga en cuenta que todos los toros, complejos o no, son topológicamente equivalentes, por lo que su pregunta tal como está no es interesante. Obviamente, puede dar a cualquier toro (y cualquier plano) una estructura compleja, por lo que tampoco es lo que le interesa. Si lo que le interesa son estructuras realmente complejas, lo que podría ser una pregunta interesante es si dicha estructura sería o podría ser invariante bajo transformaciones canónicas (creo que no, pero no lo sé). También podría preguntar si hay una estructura compleja natural en los toros en los que caen tales trayectorias, por ejemplo, si está en el plano complejo, el espacio de fase se puede identificar con$\Bbb C^2$. ¿Son los toros sobre los que caen las trayectorias cuasiperiódicas subvariedades complejas de él?