¿Cuáles son los fundamentos justificativos de la mecánica estadística sin apelar a la hipótesis ergódica?

La hipótesis ergódica no forma parte de los fundamentos de la mecánica estadística. De hecho, solo se vuelve relevante cuando desea utilizar la mecánica estadística para hacer declaraciones sobre promedios de tiempo. Sin la hipótesis ergódica, la mecánica estadística hace afirmaciones sobre conjuntos, no sobre un sistema en particular.

Para comprender esta respuesta, debe comprender qué quiere decir un físico con un conjunto. Es lo mismo que lo que un matemático llama un espacio de probabilidad. El artículo de wikipedia “Conjunto estadístico” explica bastante bien el concepto. Incluso tiene un párrafo que explica el papel de la hipótesis ergódica.

La razón por la que algunos autores hacen que parezca que la hipótesis ergódica fuera central para la mecánica estadística es que quieren darte una justificación de por qué están tan interesados ​​en el conjunto microcanónico. Y la razón que dan es que la hipótesis ergódica se cumple para ese conjunto cuando tienes un sistema para el cual el tiempo que pasa en una región particular del espacio de fase accesible es proporcional al volumen de esa región. Pero eso no es fundamental para la mecánica estadística. La mecánica estadística se puede hacer con otros conjuntos y, además, hay otras formas de justificar el conjunto canónico, por ejemplo, es el conjunto que maximiza la entropía.

Una teoría física solo es útil si se puede comparar con experimentos. La mecánica estadística sin la hipótesis ergódica, que hace declaraciones solo sobre conjuntos, solo es útil si puede realizar mediciones en el conjunto. Esto significa que debe ser posible repetir un experimento una y otra vez y la frecuencia de obtener miembros particulares del conjunto debe estar determinada por la distribución de probabilidad del conjunto que usó como punto de partida de sus cálculos de mecánica estadística.

A veces, sin embargo, solo puedes experimentar con una sola muestra del conjunto. En ese caso, la mecánica estadística sin una hipótesis ergódica no es muy útil porque, si bien puede decirle cómo sería una muestra típica del conjunto, no sabe si su muestra particular es típica. Aquí es donde la hipótesis ergódica ayuda. Establece que el promedio de tiempo tomado en cualquier muestra en particular es igual al promedio del conjunto. La mecánica estadística le permite calcular el promedio del conjunto. Si puede realizar mediciones en su muestra única durante un tiempo suficientemente largo, puede tomar el promedio y compararlo con el promedio del conjunto predicho y, por lo tanto, probar la teoría.

Entonces, en muchas aplicaciones prácticas de la mecánica estadística, la hipótesis ergódica es muy importante, pero no es fundamental para la mecánica estadística, solo para su aplicación a ciertos tipos de experimentos.

En esta respuesta, tomé la hipótesis ergódica como la afirmación de que los promedios de conjunto son iguales a los promedios de tiempo. Para aumentar la confusión, algunas personas dicen que la hipótesis ergódica es la afirmación de que el tiempo que pasa un sistema en una región del espacio de fase es proporcional al volumen de esa región. Estos dos son iguales cuando el conjunto elegido es el conjunto microcanónico.

Entonces, para resumir: la hipótesis ergódica se usa en dos lugares:

1. Justificar el uso del conjunto microcanónico.
2. Hacer predicciones sobre el promedio temporal de observables.

Ninguno de los dos es central para la mecánica estadística, ya que 1) la mecánica estadística puede y se hace para otros conjuntos (por ejemplo, aquellos determinados por procesos estocásticos) y 2) a menudo uno hace experimentos con muchas muestras del conjunto en lugar de promedios de tiempo de una sola muestra .

En cuanto a las referencias a otros enfoques de los fundamentos de la física estadística, puede consultar el artículo clásico de Jaynes ; véase también, por ejemplo, este artículo (en particular, la sección 2.3) donde analiza la irrelevancia de las hipótesis de tipo ergódico como fundamento de la mecánica estadística del equilibrio. Por supuesto, el enfoque de Jaynes también adolece de una serie de deficiencias, y creo que se puede decir con seguridad que el problema fundamental en la mecánica estadística del equilibrio todavía está ampliamente abierto.

También puede resultarle interesante leer este artículo de Uffink, donde se describen la mayoría de los enfoques modernos (y antiguos) de este problema, junto con sus respectivas deficiencias. Esto le proporcionará muchas referencias más recientes.

Finalmente, si desea una discusión matemáticamente más completa sobre el papel de la ergodicidad (interpretada correctamente) en los fundamentos de la mecánica estadística, debería echar un vistazo a Statistical Mechanics - breve tratado de Gallavotti , Springer-Verlag (1999), en particular los Capítulos I , II y IX.

EDITAR (22 de junio de 2012): acabo de recordar este artículo de Bricmont que leí hace mucho tiempo. Es bastante interesante y agradable de leer (como la mayor parte de lo que escribe): Bayes, Boltzmann y Bohm: Probabilidades en física .

Busqué "mezclar" y no lo encontré en otras respuestas. Pero esta es la clave. La ergodicidad es en gran medida irrelevante, pero la mezcla es la propiedad que hace que la física estadística de equilibrio funcione para sistemas de muchas partículas. Véase, por ejemplo, Physics and Chance de Sklar o los artículos de Jaynes sobre física estadística.

La hipótesis caótica de Gallavotti y Cohen básicamente sugiere que lo mismo es válido para las NESS.

Recientemente publiqué un artículo importante, Algunos casos especiales de las conjeturas de Khintchine en mecánica estadística: ergodicidad aproximada de la función de autocorrelación de un conjunto de osciladores acoplados linealmente. REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL VOL. 33, núm. 3, 99-113, 2012 http://rev-inv-ope.univ-paris1.fr/files/33212/33212-01.pdf que avanza el estado del conocimiento en cuanto a la respuesta a esta pregunta.

En pocas palabras: se necesita justificar la conclusión de la hipótesis ergódica, sin asumir la hipótesis ergódica en sí. La conveniencia de hacer esto se ha reconocido durante mucho tiempo, pero el progreso vigoroso ha sido lento. Terminología: la hipótesis erdódica es que todo camino pasa por (o al menos cerca) de cada punto. Esta hipótesis casi nunca es cierta. La conclusión de la hipótesis ergódica : casi siempre, los promedios temporales infinitos de un observable sobre una trayectoria son (al menos aproximadamente) iguales al promedio de ese observable sobre el conjunto. (Incluso si la hipótesis ergódica es válida, no se sigue la conclusión. Lo siento, pero esta terminología se ha vuelto estándar, tradicional, ortodoxa, y es demasiado tarde para cambiarla).teorema ergódico : a menos que haya subespacios invariantes distintos no triviales, entonces se mantienen las conclusiones de la hipótesis ergódica.

Darwin ( http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Obits2/Darwin_C_G_RAS_Obituary.html ) y Fowler ( http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies /Fowler.html ), importantes físicos matemáticos (Fowler fue alumno de Darwin y Dirac fue de Fowler), encontraron la justificación fundamental correcta para Stat Mech en la década de 1920, y demostraron que concordaba con el experimento en todos los casos generalmente examinados hasta ese momento, y también para reacciones estelares. Khintchine, el gran matemático soviético, reelaboró ​​los detalles de sus demostraciones (la Introducción a su pequeño libro sobre el tema se ha publicado en la web en http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ Extras/Khinchin_introduction.html), los hizo accesibles a un público más amplio y ha sido muy estudiado por matemáticos y filósofos de la ciencia interesados ​​en los fundamentos de la mecánica estadística o, de hecho, en cualquier inferencia científica (véase, por ejemplo, http://igitur-archive. library.uu.nl/dissertations/1957294/c7.pdf y, para otro ejemplo, la teoría ergódica de Jan von Plato y los fundamentos de la probabilidad , en B. Skyrms y WL Harper, eds, Causation, Chance and Credence. Conferencia sobre Probabilidad y Causalidad, volumen 1, págs. 257-277, Kluwer, Dordrecht 1988). El trabajo de Khintchine fue más allá y, en algunas conjeturas, esperaba que cualquier sistema dinámico con un número suficientemente grande de grados de libertad tendría la propiedad de que los observables físicamente interesantes satisfarían aproximadamente las conclusiones del teorema ergódico aunque el sistema dinámico no lo hiciera. incluso satisfacen aproximadamente las hipótesis del teorema ergódico. Su arresto, murió en prisión, interrumpió la posible formación de una escuela para llevar a cabo su programa de investigación, pero Ruelle y Lanford III lograron algunos avances.

En mi trabajo pude probar las conjeturas de Khintchine para básicamente todos los sistemas dinámicos clásicos lineales. Para la mecánica cuántica la situación es mucho más controvertida, por supuesto. Sin embargo, Fowler realmente basó sus teoremas sobre Mecánica Estadística Clásica en la Teoría Cuántica, aunque Khintchine hizo lo contrario: primero probó el caso clásico y luego intentó, sin éxito, lidiar con las modificaciones necesarias para QM. En mi opinión, el caso cuántico no introduce nada nuevo.

Por qué la medición se modela mediante un promedio de tiempo infinito en Mecánica Estadística

Este es el point d'appui para el teorema ergódico o sus sustitutos.

Masani, P. y N. Wiener, "Predicción no lineal", en Probabilidad y estadística, The Harald Cramer Volume , ed. U. Grenander, Estocolmo, 1959, p. 197: «Como indica von Neumann... al medir una cantidad macroscópica$x$asociado con un mecanismo físico o biológico... cada lectura de$x$es en realidad el promedio durante un intervalo de tiempo$T$[que] puede parecer corto desde un punto de vista macroscópico, pero es grande microscópicamente hablando. que el limite$\overline x$, como$T \rightarrow \infty$, de tal promedio existe, y en casos ergódicos es independiente del estado microscópico, es el contenido del parámetro continuo$L_2$-Teorema ergódico. El error que se comete en la práctica al no tomar el límite debe interpretarse naturalmente como una dispersión estadística centrada alrededor de$\overline x$.» Cf. también Khintchine, A., op. cit. , pags. 44ss., «una observación que da la medida de una cantidad física no se realiza instantáneamente, sino que requiere un cierto intervalo de tiempo que, por pequeño que nos parezca, sería, por regla general, muy grande desde el punto de vista de vista de un observador que observa la evolución de nuestro sistema físico. [...] Por lo tanto, tendremos que comparar datos experimentales... con promedios de tiempo tomados en intervalos de tiempo muy grandes.» Y no el valor instantáneo o estado instantáneo. Wiener, citado en Heims, op. cit. , pags. 138f., «toda observación... toma un tiempo finito, introduciendo así incertidumbre».

Benatti, F. Deterministic Chaos in Infinite Quantum Systems , Berlín, 1993, Trieste Notes in Physics , p. 3, «Dado que los tiempos característicos de los procesos de medición en macrosistemas son mucho más largos que los que rigen los microfenómenos subyacentes, es razonable pensar en los resultados de un procedimiento de medición como promedios de tiempo evaluados a lo largo de trayectorias de fase correspondientes a condiciones iniciales dadas. .» Y Pauli, W., Pauli Lectures on Physics, volumen 4, Statistical Mechanics , Cambridge, Mass., 1973, p. 28f., «Lo que se observa macroscópicamente son promedios de tiempo...»

Wiener, "Logique, Probabilite et Methode des Sciences Physiques", «Toutes les lois de probabilite connues sont de caractere asymptotique... les considérations asymptotiques n'ont d'autre but dans la Science que de permettre de connaitre les proprietes des ensembles tres nombreux en evitant de voir ces proprietes s'evanouir dans la confusion resultante de las specificite de leur infinitude. L'infini permet ainsi de consider des nombres tres grands sans avoir a tenir compte du fait que ce sont des entites distintes.»

Por qué necesitamos reemplazar los promedios de conjunto por promedios de fase, que se pueden lograr de diferentes maneras, la forma tradicional es usar la hipótesis ergódica.

Estas citas expresan el enfoque ortodoxo de Classical Stat Mech. El sistema de la mecánica clásica se encuentra en un estado particular, y una medida de alguna propiedad de ese estado se modela mediante un promedio de largo plazo sobre la trayectoria del sistema. Aproximamos esto tomando el promedio de tiempo infinito. Nuestra teoría, sin embargo, no puede calcular esto, de todos modos ni siquiera conocemos las condiciones iniciales del sistema por lo que no sabemos qué trayectoria... lo que calcula nuestra teoría es el promedio de fase o promedio de conjunto. Si no podemos justificar algún tipo de igualdad aproximada del promedio del conjunto con el promedio del tiempo, no podemos explicar por qué las cantidades que calcula nuestra teoría concuerdan con las cantidades que medimos .

A algunas personas, por supuesto, no les importa. Eso es ser anti-fundacional.

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realizado por Sandu Popescu en el Perimeter Institute, así como en este documento

Enredo y los fundamentos de la mecánica estadística .

Se argumenta que:

1. "el postulado principal de la mecánica estadística, el postulado de probabilidad igual a priori, debe abandonarse por engañoso e innecesario" (la hipótesis ergódica es una forma de garantizar el postulado de probabilidad igual a priori)

2. en cambio, se propone una base cuántica para la mecánica estadística, basada en el entrelazamiento. En el espacio de Hilbert, se argumenta, casi todos los estados están cerca de la distribución canónica.

Puede encontrar en el documento algunas otras referencias interesantes sobre este tema.

No estoy de acuerdo con la afirmación de Marek de que "en muchas aplicaciones prácticas de la mecánica estadística, la hipótesis ergódica es muy importante, pero no es fundamental para la mecánica estadística, solo para su aplicación a ciertos tipos de experimentos".

La hipótesis ergódica no es necesaria en ninguna parte. Consulte la Parte II de mi libro Mecánica clásica y cuántica a través de álgebras de Lie para un tratamiento de la mecánica estadística independiente de los supuestos de ergodicidad o mezcla, pero aún recuperando las fórmulas habituales de la termodinámica de equilibrio.