Distribución de Maxwell Boltzmann: del impulso a la energía

Estoy aprendiendo sobre la distribución de Maxwell Boltzmann y estoy tratando de convertir la ecuación de momento en energía, pero estoy atascado en cambiar$d^n p$en$dE$. tengo la ecuacion:

$$E=\frac{|\textbf{p}|^2}{2m}$$ Y cuando miré en wikipedia , veo que quien lo escribió lo cambió como: $$d^3 \textbf{p} = 4\pi |\textbf{p}|^2d|\textbf{p}|= 4\pi m\sqrt{2mE}dE$$ entiendo como $4\pi |\textbf{p}|^2d|\textbf{p}|= 4\pi m\sqrt{2mE}dE$, pero no entiendo cómo llegaron: $$d^3 p = 4\pi |\textbf{p}|^2d|\textbf{p}|$$ ¿Hay una cierta identidad o algo de lo que deba hacer uso? Además, ¿cómo varía esto para diferentes dimensiones? ¿Podría alguien indicarme la dirección correcta sobre cómo resolver esto, por favor?