Relación entre operadores de destrucción/creación de oscilador armónico en QM y Segunda Cuantización

Question

Relación entre operadores de destrucción/creación de oscilador armónico en QM y Segunda Cuantización

Física
operadores
espacio de hilbert
mecánica cuántica
oscilador armónico
segunda cuantización

ErroDSF

Es bien sabido que en QM elemental los llamados operadores de destrucción/creación

a_{i} = \frac{q_{j} + i {PAG}_{j}}{\sqrt{2}}, a_{i}^{*} = \frac{q_{j} - i {PAG}_{j}}{\sqrt{2}},

$a_i = \frac{Q_j + i P_j }{\sqrt{2}}, \quad a_i^* = \frac{Q_j - i P_j }{\sqrt{2}},$

se introducen al estudiar el $n$ -oscilador armónico dimensional, donde los operadores $Q_j$ y $P_j$ se definen por

(q_{j} ψ) (X) = X_{j} ψ (X), ({PAG}_{j} ψ) (X) = - i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial X_{j}} (X),

$(Q_j \psi) (x) = x_j \psi(x), \quad (P_j \psi) (x) = -i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial x_j}(x),$

en dominios adecuados en $L^2(\mathbb{R}^n)$ , dice el espacio de Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ de funciones suaves "rápidamente decrecientes". Entonces son operadores $L^2(\mathbb{R}^n) \supset \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \to L^2(\mathbb{R}^n)$ .

Sin embargo, en el formalismo de segunda cuantización tenemos operadores de destrucción/creación que actúan en el espacio de Fock. $\mathcal{F}(\mathfrak{h}) = \bigoplus_{k=0}^\infty \mathfrak{h}^{\otimes^k}$ , dónde $\mathfrak{h}$ es un espacio de Hilbert de una partícula, y se definen como distribuciones con valores de operador $\psi \to a(\psi), \psi \to a(\psi)^*$ , dónde $\psi \in \mathfrak{h}$ .

¿Hay alguna conexión entre las dos nociones, por ejemplo, tomando como espacio de Hilbert de una partícula exactamente $\mathfrak{h} = L^2({\mathbb{R}^n})$ , o el hecho de que compartan el mismo nombre es solo un "accidente"? En el primer caso, traté de explotar la definición misma de los operadores de destrucción/creación en la segunda cuantización para las funciones propias del oscilador armónico (o funciones de Hermite) $\varphi_k$ definiendo $a_k \equiv a(\varphi_k)$ , pero creo que este enfoque falla estrepitosamente si busco algún vínculo entre las dos definiciones...

Respuestas (2)

Relación entre operadores de destrucción/creación de oscilador armónico en QM y Segunda Cuantización

wooohooo · Answer 1

Mi respuesta puede no ser suficiente, pero espero arrojar algo de luz al respecto.

Traté de explotar la definición misma de los operadores de destrucción/creación en la segunda cuantización para las funciones propias del oscilador armónico.

Cuando hablamos de operadores de destrucción/creación, no estamos hablando de partículas reales, sino de una cuasipartícula: fonones.

Traté de explotar la definición misma de los operadores de destrucción/creación en la segunda cuantización para las funciones propias del oscilador armónico (o funciones de Hermite) φk definiendo ak≡a(φk),

Creo que es posible escribir esta expresión, pero no en forma de Hermite functions, ya que los operadores de escalera son completamente simbólicos.

... definida como distribuciones con valores de operador ψ→a(ψ),ψ→a(ψ)∗, donde ψ∈h.

Bueno, esto no es una definición. De hecho, puedes llegar a la conclusión de que ψ no conmuta. Esto significa que NO son funciones ordinarias o vectores de estado, DEBEN ser operadores. Esta realización se llama la segunda cuantización.

Di una definición muy pobre de operadores de destrucción/creación en Second Quantization a propósito porque en realidad estoy (más o menos) familiarizado con ellos, y no quise ser demasiado explícito. Lo que estaba preguntando es si uno puede recuperar los operadores de escalera del oscilador armónico mediante una determinada elección de $\mathfrak{h}$ (ver la respuesta de yuggib a continuación). Por cierto, gracias por tu respuesta!

yuggib · Answer 2

De hecho, son parte de la misma construcción general, llamada "Representación de Fock de las relaciones de conmutación canónicas".

El caso de los operadores de creación y aniquilación de la mecánica cuántica se recupera del caso general estableciendo $\mathfrak{h}=\mathbb{C}^n$ en la definición de espacio Fock de OP. De hecho, matemáticamente no es difícil ver que el espacio de Fock resultante es isomorfo (en el sentido de representaciones de relaciones canónicas de conmutación) a $L^2(\mathbb{R}^n)$ junto con los operadores estándar de creación y aniquilación. (El vector de vacío de Fock se asigna al vector de estado fundamental del oscilador armónico)

En el caso general de una arbitraria $\mathfrak{h}$ , se obtiene una base de vectores propios del operador numérico (el oscilador armónico generalizado) partiendo del vacío por acción sucesiva de uno de los operadores de creación $a^*(e_n)$ , dónde $\{e_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una base ortonormal de $\mathfrak{h}$ . (y si $\mathfrak{h}=\mathbb{C}$ esto da exactamente los polinomios de Hermite habituales)

¡Esto era exactamente lo que estaba buscando! Muchas gracias.

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