¿Por qué funcionan los operadores de escalera en los osciladores armónicos?

De manera similar a AccidentalFourierTransform, no estoy seguro de entender bien su problema.

Sin embargo, hay un punto crucial perdido en su argumento, generalmente ausente en muchos libros de texto sobre estos temas.

Es cierto que descomponiendo$H$como$H= \hbar\omega( a^\dagger a + \frac{1}{2})$y tomando las relaciones (siguiendo de CCR)$[a, a^\dagger] =I$en cuenta se encuentra un conjunto de vectores etiquetados por$n \in \mathbb R$,$|n\rangle$, tal que$\langle n|m \rangle = \delta_{nm}$, pero de ninguna manera es suficiente para probar que el espectro de$H$es discreto con

$$\sigma(H)= \{ \hbar \omega (n + 1/2)\:|\: n \in \mathbb N\}\:.\tag{1}$$

El hecho perdido es que los vectores$|n\rangle$forman un conjunto completo de vectores ortonormales.

Es necesario investigar este tema ya que el espacio de Hilbert es$L^2(\mathbb R)$por lo tanto infinitamente dimensional.

La completitud no surge de argumentos algebraicos y debe establecerse por separado centrándose en la forma explícita de las funciones de onda.$\psi_n(x) = \langle x|n\rangle$. Estas son la base de las funciones de Hermite cuyo lapso finito es denso en$L^2(\mathbb R)$, asegurando a su vez que el conjunto ortonormal$\{|n\rangle\}_{n \in \mathbb N}$está completo como quería. Como corolario del teorema espectral,$H$es esencialmente autoadjunto en el tramo de la$|n\rangle$sy el espectro de su extensión autoadjunta única es solo (1).

En cuanto a las evidentes similitudes con las construcciones análogas relacionadas con$SU(2)$y la teoría del momento angular, de hecho es posible demostrar que$L^2(\mathbb R)$es el espacio portador de una representación irreducible (fuertemente continua) del grupo de Lie de Weyl-Heisenberg, y el procedimiento algebraico basado en las manipulaciones algebraicas de$a$y$a^\dagger$construir esta representación es estrictamente análogo al empleado para construir las correspondientes representaciones unitarias irreductibles de$SU(2)$tratar con los operadores de escalera$J_-$y$J_+= (J_-)^\dagger$.

La situación del grupo compacto de Lie$SU(2)$es sin embargo diferente, debido al hecho conocido de que todas las representaciones unitarias irreductibles fuertemente continuas de un grupo topológico compacto son necesariamente de dimensión finita en vista del teorema de Peter-Weyl. Esta característica garantiza que las manipulaciones algebraicas puras sean suficientes para encontrar una base ortogonal (¡necesariamente finita!) del momento angular, por ejemplo. El argumento no puede usarse para el oscilador armónico porque el grupo de Weyl-Heisenberg no es compacto y admite representaciones de infinitas dimensiones.

Bueno, no estoy seguro de haber entendido tu pregunta, así que voy a escribir lo que pienso y veamos si es útil :-)

el algebra$[a,a^\dagger]=1$es todo lo que necesitas para diagonalizar$H$, pero esto es porque lo que$H$parece:

$$H=\omega a^\dagger a$$

Los observables importantes, a saber$H,P,X$, se puede escribir como polinomios en$a,a^\dagger$:

$$\begin{aligned} X&=a+a^\dagger\\ P&=i(a-a^\dagger)\\ H&=\omega a^\dagger a \end{aligned}$$ y, por supuesto, podemos demostrar que cualquier observable $\mathcal O(P,X)$se puede escribir como una combinación lineal de monomios en $a,a^\dagger$.

Ahora, diagonalizando$H$es lo mismo que resolver para la evolución temporal de los operadores, porque en la base donde$H$Esta evolución en el tiempo diagonal es trivial. Pero, la evolución del tiempo viene dada por el conmutador.$[\mathcal O,H]$, y usando la regla del producto y la linealidad de$[\cdot,\cdot]$, es fácil ver que si sabemos$[a,a]$,$[a^\dagger,a^\dagger]$y$[a,a^\dagger]$, conocemos el conmutador de cualquier observable$\mathcal O$con$H$, es decir, conocemos la evolución temporal de cualquier observable.

Por ejemplo,

$$\begin{aligned} i\dot X&=[X,H]=\omega[a+a^\dagger,a^\dagger a]=[a,a^\dagger a]+[a^\dagger,a^\dagger a]=\\ &=\omega\left(a^\dagger[a, a]+[a,a^\dagger ]a+a^\dagger[a^\dagger,a]+[a^\dagger,a^\dagger ]a\right) \end{aligned}$$ donde solo usé las propiedades algebraicas de $[\cdot,\cdot]$.

Con esto, si conocemos los conmutadores individuales$[a,a]=[a^\dagger,a^\dagger]=0$y$[a,a^\dagger]=1$podemos escribir

$$\begin{aligned} i\dot X&=\omega(a-a^\dagger) \end{aligned}$$ y tomando una segunda derivada obtenemos $\ddot X+\omega^2X=0$, es decir, encontramos la forma explícita (EDO) de la evolución temporal de $X(t)$.

Conclusión: el álgebra de$a,a^\dagger$es suficiente para especificar completamente el conmutador de$H=\omega a^\dagger a$con cualquier operador$\mathcal O(X,P)$, y por lo tanto es suficiente para determinar la evolución temporal de cualquier observable. Esto a su vez significa que, una vez que sabemos,$[a,a]$,$[a^\dagger,a^\dagger]$y$[a^\dagger,a]$, conocemos los valores propios de$H$.

EDITAR

Hay dos formas de introducir el$a,a^\dagger$operadores.

1) La forma de Dirac (como se puede encontrar en la mayoría de los libros sobre QM): Suponemos que existen dos operadores$X,P$que tomamos como fundamental, y definimos

$$H=\frac12P^2+\frac12X^2$$ Juntos con $[X,P]=i$. A partir de esto, se sigue el análisis habitual (ver por ejemplo, aquí donde motivan la definición de $a$y diagonalizar $H$).

En este método, todos los observables se pueden escribir como polinomios en$X$y$P$, es decir, como polinomios en$a,a^\dagger$.

2) Método de Weinberg (ver Weinberg I. para más detalles): Suponemos que existe una base discreta$|n\rangle$ $n=0,1,2,\dots$tal que cualquier$\psi$Se puede escribir como$|\psi\rangle= c_n|n\rangle$(suma implícita). Entonces podemos escribir

$$a|n\rangle=|n-1\rangle\quad a^\dagger|n\rangle=|n+1\rangle$$ hasta una normalización, y esto define el operador$a$y sus relaciones de conmutación . Con esto, podemos probar que cualquier operador $\mathcal O$Se puede escribir como $$\mathcal O=o_0 \mathbb 1+o_i a^i+o_{ij}a^ia^j+o_{ijk}a^ia^ja^k$$ dónde $\{a^i\}=\{a,a^\dagger\}$y hay sumas implícitas sobre índices repetidos. La demostración de este teorema se puede encontrar en W. I, pero el significado es muy simple: cualquier operador se puede escribir como una combinación lineal de $a,a^\dagger$.

En esta imagen, los operadores$a,a^\dagger$son "fundamentales", y podemos definir, por ejemplo,$X=a+a^\dagger$. Ahora, ¿cómo sabemos que$H\propto a^\dagger a$? bueno, nosotros no. Pero WLOG podemos escribir

$$H=h_1a+h_1^*a^\dagger+h_2 a^\dagger a+\text{cubic terms}+\dots$$ pero los términos con $h_1$haría $H$sin límites (como se puede ver al evaluar $\langle 1|H|0\rangle$), por lo que debemos tomar $h_1=0$. Esto significa que $H=\omega a^\dagger a$más términos de orden superior. Estos términos de orden superior harían que la EoM para $a$no lineal, lo que significa que debemos despreciarlos si queremos un oscilador armónico (que es lineal, por definición).

Este análisis muestra cómo podemos derivar el oscilador armónico usual si asumimos que$a,a^\dagger$son los operadores fundamentales. En cualquier caso, debe quedar claro que, ya sea que tratemos$a$como fundamental o derivado, el conmutador$[a,a^\dagger]$es todo lo que necesitamos para encontrar los valores propios de$H$, porque diagonalizando$H$es lo mismo que resolver la evolución temporal, que a su vez viene dada por$[\mathcal O,H]$. Como en 1) y 2) podemos escribir cualquier$\mathcal O$como un polinomio en$a,a^\dagger$, una vez que sabemos$[a,a^\dagger]$sabemos$[\mathcal O,H]$para cualquier$\mathcal O$.