Oscilador armónico simple por operadores

Esto se vuelve más evidente con algunos paréntesis:

Desde$N$da un valor propio de$(n-1)$al operar en el estado$a|n\rangle$, entonces$a|n\rangle$debe ser un estado propio de$N$con un valor propio de$(n-1)$, alias$|n-1\rangle$(un factor de fase general/constante numérica$c$también podría incluirse en este estado, que sería cancelado por ambos lados).

el problema es que no puedo entender por qué esto es cierto

De su ecuación 1, obtenemos que:

Tu ecuación 2 es:

Por lo tanto, debe ser que

Para ser claro,$a$es un operador que, dado un ket, devuelve un ket por lo que podríamos escribir algo como

y luego tu ecuación 2 se convierte en

lo que implica que$|m\rangle$es proporcional a$|n-1\rangle$, es decir,

Su pregunta es por qué el valor propio-$n-1$el espacio propio tiene dimensión$1$. Desde la aplicación repetida de$a$puede reducir el valor propio hasta que sea$0$, mientras que la aplicación repetida de$a^\dagger$puede aumentar el valor propio, cada espacio propio tiene la misma dimensión. Puedes probar fácilmente que esta dimensión es$1$en el$n=0$caso.