Estados propios de un oscilador armónico desplazado

El concepto clave a buscar son los estados numéricos desplazados . Estos son, simplemente, los estados numéricos$|n⟩$, movida por el operador de desplazamiento

$$D(\alpha)=\exp\left[\alpha a^\dagger-\alpha^*a\right]$$ hasta cierto punto$\alpha=x+ip$en el espacio de fases complejas. El estado fundamental de un oscilador armónico que ha sido desplazado a un real$\alpha=x$es, como se nota, el estado coherente $$|\alpha⟩=D(\alpha)|0⟩.$$ El resto de los autoestados son, de manera similar, $$|\alpha,n⟩=D(\alpha)|n⟩.$$

---

La forma más sencilla de probar esto es utilizar las relaciones de conmutación/desplazamiento entre el operador de desplazamiento y los operadores de escalera,

$$aD(\alpha)=D(\alpha)(a+\alpha)\quad\text{and}\quad a^\dagger D(\alpha)=D(\alpha)(a^\dagger+\alpha^*).$$ A continuación, puede transformar la ecuación de valor propio$a^\dagger a|n⟩=n|n⟩$en $$\begin{align} (a^\dagger-\alpha^*)(a-\alpha)|\alpha,n⟩ &=\left(D(\alpha)a^\dagger D(\alpha)^\dagger\right) \left(D(\alpha)aD(\alpha)^\dagger\right) D(\alpha)|n⟩ \\ &= D(\alpha)a^\dagger a|n⟩=nD(\alpha)|n⟩ \\&=n~|\alpha,n⟩, \end{align}$$ o alternativamente $$\left[a^\dagger a-(\alpha a^\dagger +\alpha^*a)\right]~|\alpha,n⟩ =(n-|\alpha|^*)~|\alpha, n⟩.$$

---

Ahora, como todos los estados en el espacio de Hilbert, los estados numéricos desplazados se pueden escribir en base a los estados numéricos, como$|\alpha,n⟩=\sum_{m=0}^\infty c_m(\alpha)|m⟩$. Los coeficientes en esta expansión son simplemente los elementos de la matriz del operador de desplazamiento en la base numérica:

$$⟨m|\alpha,n⟩=⟨m|D(\alpha)|n⟩.$$

Esto se puede calcular de un par de maneras, que se ven desordenadas o parecen sacadas de la nada, pero lo que importa en última instancia es el resultado. salen como

$$⟨m|D(\alpha)|n⟩=\sqrt{\frac{n!}{m!}}\alpha^{m-n}e^{-\tfrac12|\alpha|^2}L_n^{(m-n)}(|\alpha|^2)\quad\text{when }m\geq n, \tag 1$$ dónde$L_n^{(m-n)}$es un polinomio de Laguerre .

La referencia estándar en la literatura para este elemento de matriz es el Apéndice B de

Expansiones ordenadas en operadores de amplitud de bosones. KE Cahill y RJ Glauber. física Rev. 177 no. 5, 1857-1881 (1969) .

Vale la pena señalar que la mayor parte de la literatura simplemente cita el resultado$(1)$y lo atribuye a Cahill y Glauber, pero la mayoría de los artículos citan tanto el artículo anterior como un segundo artículo consecutivo , también de Cahill y Glauber, que no contiene el resultado. ¡Así que tenga cuidado y demuestre que ha leído lo que cita!

mi tesis de licenciatura,

E. Pisanty. Estados coherentes generalizados y estructura analítica del operador de aniquilación [pdf] (Estados coherentes generalizados y estructura analítica del operador de aniquilación). Tesis de licenciatura, Universidad Nacional Autónoma de México, 2011.

fue sobre este tema y contiene un cálculo alternativo, aunque está todo en español (¿lamentablemente?) afortunadamente.

I) Correcto, el operador

$$\tag{1} \hat{A}~\equiv~ \hat{a}-\alpha{\bf 1}, \qquad \alpha\in \mathbb{C},$$

satisface las mismas relaciones de conmutación

$$\tag{2} [\hat{A},\hat{A}^{\dagger}] ~=~{\bf 1}$$

como

$$\tag{3} [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}] ~=~{\bf 1}.$$

(En el ejemplo de OP, el número complejo$\alpha=-1$.)

II) Definir operador numérico

$$\tag{4} \hat{N}~:=~\hat{A}^{\dagger}\hat{A}$$

en analogía con

$$\tag{5} \hat{n}~:=~\hat{a}^{\dagger}\hat{a}.$$

III) El único tema no trivial es el espacio Fock correspondiente . Los estados de Fock normalizados habituales son

$$\tag{6} | n \rangle~:=~\frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat{a}^{\dagger})^n|0 \rangle, \qquad \hat{a}|0 \rangle~=~0, \qquad \langle 0|0 \rangle~=~1 .$$

Los estados coherentes no normalizados habituales dicen

$$\tag{7} | z )~:=~e^{z\hat{a}^{\dagger}}|0 \rangle, \qquad \hat{a}| z )~=~z| z ), \qquad (w |z ) ~=~ e^{\bar{w}z}.$$

Definir nuevo estado de vacío normalizado

$$\tag{8} | 0 ] := e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}| \alpha ),\qquad \hat{A}|0 ]~=~0 , \qquad [ 0|0 ]~=~1 .$$

Definir nuevos estados de Fock normalizados

$$\tag{9} | N ]~:=~\frac{1}{\sqrt{N!}} (\hat{A}^{\dagger})^N | 0 ].$$