Relación entre los determinantes de los tensores métricos

En mi opinión, es mejor trabajar en una forma covariante explícita. En mi respuesta usaré dos definiciones diferentes, los índices griegos siempre se ejecutan desde$0$a$3$e índices latinos de$1$a$3$y la métrica$g_{\mu\nu}$tiene firma$(-1,1,1,1)$.

Para traducir las expresiones a una forma covariante explícita, definimos algún campo vectorial temporal$v^\mu$. Podemos definir un sistema de coordenadas adaptado tal que$v^\mu = \delta^\mu{}_0$y por lo tanto,

$$g_{00} = g_{\mu\nu}v^\mu{}v^\nu.$$ Sin embargo, es mejor (en mi opinión) no trabajar en dicho sistema de coordenadas, en este caso siempre usamos expresiones como el lado derecho de las anteriores, es decir, $v^2 \equiv g_{\mu\nu}v^\mu{}v^\nu$.

La métrica proyectada de su ecuación se puede expresar como (donde reelaboré los signos para que se ajusten a mis definiciones)

$$\gamma_{ij} = g_{ij} - \frac{g_{0i}g_{0j}}{g_{00}} = g_{ij} - \frac{v^\mu v^\nu g_{\mu i}g_{\nu j}}{v^2} = g_{ij} + \frac{v_i v_j}{\sqrt{-v^2}\sqrt{-v^2}} = g_{ij} + n_i n_j,$$ donde definimos, naturalmente, $v_\mu = g_{\mu\nu}v^\nu$y la versión normalizada de $v^\mu$, es decir, $n^\mu \equiv v^\mu/\sqrt{-v^2}$. Tenga en cuenta que aquí presentamos el resto de la base de coordenadas dada por los campos vectoriales $e_i{}^\mu$tal que $g_{ij} = e_i{}^\mu{}e_j{}^\nu{}g_{\mu\nu}$, $v_i = v_\mu{}e_i{}^\mu$, etc. Luego, para evitar la introducción de coordenadas definimos el proyector $$\gamma_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + n_\mu{}n_\nu,$$ que se reduce a la métrica espacial en el sistema de coordenadas adaptado y en general funciona como un proyector $\gamma_{\mu\nu}n^\nu = 0$.

Se puede introducir el determinante en un formato covariante usando el espacio de tensores totalmente antisimétricos de tipo$(4,0)$, p.ej$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$que es antisimétrica en cualquiera de los dos índices adyacentes. Definimos$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$usando la expresión

$$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} = -4!,$$ donde se redujeron los índices utilizando la métrica $g_{\mu\nu}$, esto define $\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$hasta una señal ya que el espacio de tensores totalmente antisimétricos es unidimensional. Utilizando la definición de determinante en términos del símbolo de Levi-Civita, es fácil demostrar (puede consultar el Apéndice B de Wald 1984) que $$v^\mu{}e_1{}^\nu{}e_2{}^\alpha{}e_3{}^\beta\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} = \epsilon_{0123} = \sqrt{-g},$$ dónde $g$es el determinante de $g_{\mu\nu}$calculado en la base de coordenadas formada por $(v^\mu,e_i{}^\mu)$.

Finalmente,$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$se expresa de la siguiente manera,

$$\begin{align} \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\lambda\sigma\phi\psi}g^{\mu\lambda}g^{\nu\sigma}g^{\alpha\phi}g^{\beta\psi} &= \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\lambda\sigma\phi\psi}(\gamma^{\mu\lambda}-n^{\mu}n^{\lambda})(\gamma^{\nu\sigma}-n^{\nu}n^{\sigma})(\gamma^{\alpha\phi}-n^{\alpha}n^{\phi})(\gamma^{\beta\psi}-n^{\beta}n^{\psi}), \\ &= -4n^{\mu}n^{\lambda}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\lambda\sigma\phi\psi}\gamma^{\nu\sigma}\gamma^{\alpha\phi}\gamma^{\beta\psi}, \end{align}$$ donde usamos que cualquier contracción de dos $n^\mu$con $\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$es nulo. Ahora, usando eso $\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} = -4!$, obtenemos $$n^{\mu}n^{\lambda}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\lambda\sigma\phi\psi}\gamma^{\nu\sigma}\gamma^{\alpha\phi}\gamma^{\beta\psi} = -v^{-2}\epsilon_{0ijk}\epsilon_{0lmn}\gamma^{il}\gamma^{jm}\gamma^{kn} = 3!,$$ usando nuevamente la fórmula del determinante a través del símbolo antisimétrico obtenemos $$v^2\gamma = -(\epsilon_{0123})^2 = g \qquad \Rightarrow\qquad -g = -g_{00}\gamma,$$ donde la diferencia de signos proviene de la diferente definición de firma.

En términos de formas de volumen, este resultado es equivalente a

$$\tilde{\epsilon} = -4\tilde{n}\wedge{}^3\tilde{\epsilon},$$ dónde $\tilde{\epsilon}$es solo la forma de cuatro volúmenes con sus componentes dada por $\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$y ${}^3\tilde{\epsilon}$es la forma tridimensional del volumen inducido con sus componentes dadas por $n^\mu\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}$.

Debe tener mucho cuidado con las convenciones que está utilizando para definir su métrica de 4 y su métrica de 3 y su vector de tiempo.

En particular, si está utilizando coordenadas en las que su métrica tiene componentes fuera de la diagonal, tenga en cuenta cuál es el valor de su unidad normal, y le recomiendo encarecidamente que elija su condición de corte como una de sus cuatro coordenadas, de modo que esté elegir superficies de$\tau =$constante.