Matar vectores - Métrica de Schwarzschild

Question

Matar vectores - Métrica de Schwarzschild

estigmas

Dada la métrica de Schwarzschild,

d s^{2} = - (1 - \frac{R_{s}}{r}) d t^{2} + {(1 - \frac{R_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} {pecado}^{2} θ d ϕ^{2},

$\mathrm{d}s^{2}=-\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\mathrm{d}t^{2}+\left(1-\frac{R_s}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^{2}+r^{2}\mathrm{d}\theta^{2}+ r^2 \sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2},$ me piden que muestre eso

k^{m} = (1, 0, 0, 0), R^{m} = (0, 0, 0, 1)

$K^{\mu}=\left(1,0,0,0\right),\; R^{\mu}=(0,0,0,1)$ son vectores Killing, es decir, satisfacen la ecuación Killing

\nabla_{m} ξ_{v} + \nabla_{v} ξ_{m} = 0.

$\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu=0.$

En primer lugar, usando la métrica bajo los índices:

k_{m} = (- (1 - \frac{R_{s}}{r}), 0, 0, 0), R_{m} = (0, 0, 0, r^{2} {pecado}^{2} θ) .

$K_\mu=\left(-\left(1-\frac{R_s}{r}\right),0,0,0\right),\; R_\mu=\left(0,0,0,r^2\sin^2\theta\right).$ Entonces para

R_{μ}

$R_\mu$ traté de calcular

\nabla_{m} R_{v} \equiv \partial_{m} R_{v} - Γ_{m v}^{λ} R_{λ} = \partial_{m} R_{v} - Γ_{m v}^{ϕ} R_{ϕ};

$\nabla_\mu R_\nu\equiv\partial_\mu R_\nu - \Gamma^\lambda_{\mu\nu} R_\lambda=\partial_\mu R_\nu - \Gamma^\phi_{\mu\nu} R_\phi;$ entonces

\nabla_{r} R_{ϕ} = r {pecado}^{2} θ, \nabla_{θ} R_{ϕ} = r^{2} pecado θ porque θ .

$\nabla_r R_\phi=r\sin^2\theta, \; \nabla_\theta R_\phi=r^2\sin\theta\cos\theta.$ Pero ahora no tengo claro qué debo hacer a continuación.

papi kropotkin

¿Qué pasó con los símbolos de Christoffel? Creo que te faltan algunos términos en tus expresiones para las derivadas covariantes

estigmas

@NORTE. Steinle, tengo una suma implícita sobre

λ = t, r, θ, ϕ

$\lambda=t,r,\theta,\phi$ . Entonces me doy cuenta de que el único símbolo de Christoffel que no desaparece es ese de una pizca.

λ = ϕ

$\lambda=\phi$ .

Respuestas (2)

Matar vectores - Métrica de Schwarzschild

¿Qué pasó con los símbolos de Christoffel? Creo que te faltan algunos términos en tus expresiones para las derivadas covariantes
@NORTE. Steinle, tengo una suma implícita sobre $\lambda=t,r,\theta,\phi$ . Entonces me doy cuenta de que el único símbolo de Christoffel que no desaparece es ese de una pizca. $\lambda=\phi$ .

Vincenzo Ventriglia · Answer 1

Su ecuación para $R_\mu$ lee

\nabla_{m} R_{v} + \nabla_{v} R_{m} = (\partial_{m} R_{v} - Γ_{m v}^{λ} R_{λ}) + (\partial_{v} R_{m} - Γ_{v m}^{σ} R_{σ}) = \partial_{m} R_{v} + \partial_{v} R_{m} - 2 Γ_{m v}^{ϕ} R_{ϕ} .

$\nabla_\mu R_\nu + \nabla_\nu R_\mu =\left(\partial_\mu R_\nu -\Gamma^\lambda_{\mu\nu} R_\lambda\right) + \left(\partial_\nu R_\mu - \Gamma^\sigma_{\nu\mu}R_\sigma\right)=\partial_\mu R_\nu + \partial_\nu R_\mu -2\Gamma^\phi_{\mu\nu} R_\phi.$ Si utiliza

μ = r

$\mu=r$ y

μ = θ

$\mu=\theta$ (los únicos términos que no desaparecen), encontrarás que la ecuación de Killing para

R_{μ}

$R_\mu$ esta satisfecho

elio fabri · Answer 2

$\def\bg{{\mathbf g}}$ Depende de cómo se haya definido el vector Killing. Si la definición era "un campo vectorial que obedece a la ecuación de Killing", entonces solo queda continuar con el cálculo y no puedo agregar nada. Pero hay una definición alternativa, que prefiero:

Un Killing field es aquel cuyo flujo es una isometría para todos los valores de parámetro.

Esto requiere saber qué es el flujo de un campo vectorial y qué significa "isometría" en una variedad de Riemann. Resumo brevemente.

El flujo de un campo vectorial $X$ es simplemente el conjunto de sus curvas integrales, cada una parametrizada por una variable real que denominaré $u$ . Para cada valor de $u$ el flujo de $X$ define un mapeo $\mu$ de lo múltiple en sí mismo.

Una isometría de una variedad de Riemann es un mapeo (diferenciable) que deja invariable el tensor métrico: $\mu^*\bg = \bg$ .

Entonces se puede demostrar que $X$ es un campo de muerte para la métrica $\bg$ si satisface la ecuación de Killing (donde la derivada covariante se define por la conexión Levi-Civita de $\bg$ ).

En tu problema el flujo de $K$ es obviamente el mapeo

m_{tu} : (t, r, θ, ϕ) \mapsto (t + tu, r, θ, ϕ)

$\mu_u: (t,r,\theta,\phi) \mapsto (t+u,r,\theta,\phi)$ es decir, una traducción de tiempo por

u

$u$ . Desde

g

$\bg$ (es decir

d s^{2}

$ds^2$ ) no depende de

t

$t$ ,

μ_{u}

$\mu_u$ es una isometría para todos

u

$u$ .

Análogamente, el flujo de $R$ es

v_{tu} : (t, r, θ, ϕ) \mapsto (t, r, θ, ϕ + tu)

$\nu_u: (t,r,\theta,\phi) \mapsto (t,r,\theta,\phi+u)$ es decir, una rotación de ángulo

u

$u$ . Y

g

$\bg$ ni siquiera depende de

ϕ

$\phi$ , entonces

ν_{u}

$\nu_u$ es una isometría también.

Matar vectores - Métrica de Schwarzschild

estigmas

papi kropotkin

estigmas

Respuestas (2)

Vincenzo Ventriglia

elio fabri

Tensor de matanza de la métrica de Friedman-Robertson-Walker

¿Calcular el tensor métrico a partir de sus vectores Killing?

Encontrar la divergencia en coordenadas esféricas usando el tensor métrico

¿Cómo encontrar las geodésicas nulas?

Dos observadores de Robertson-Walker, ¿a qué hora se recibirá una señal luminosa?

¿Cómo mostrar que cada campo de vector Killing es una colineación de materia?

¿Cómo poner esta métrica en forma de matriz? [cerrado]

Aceleración de la partícula "mantenida en su lugar" en x = 1x = 1x = 1 [cerrado]

Es (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\parcial^2}{\parcial t^2}+\nabla^2\ right)\phi=0 igual que ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left( g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \parcial_\nu\phi\right)=0?

Pregunta de Schutz