Relación entre los coeficientes de una matriz y sus valores propios

Question

Relación entre los coeficientes de una matriz y sus valores propios

matrices
Matemáticas
valores propios-vectores propios

Desaparecido en combate

Dejar $A \in \mathbb{R}^{nxn}$ ser una matriz y $\rho(A)$ su valor propio más grande (o el módulo más grande de sus valores propios). Dejar $a_{ij}$ ser una entrada típica de la matriz $A$ en el $i$ -ésima fila y $j$ -ésima columna tal que $a_{ij} \in \{0,1\}$ y $a_{ii} \equiv 0$ . Si se cumple la siguiente condición para alguna constante $\alpha > 0$

α ρ (A) < 1

$\alpha \rho(A) < 1$ podemos deducir que

α a_{i j} < 1

$\alpha a_{ij} < 1$ para todos

i

$i$ y

j

$j$ en

{1, \dots n}

$\{1, \ldots n \}$ ?

Por ejemplo llame a la siguiente matriz A,

(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

tiene valores propios $-0.6180$ y $1.6180$ y $-1.0000$ . Desde $\rho(A)= 1.618$ parece ser cierto para este caso especial. ¿Alguien puede ver un contraejemplo obvio?

Sabemos por el teorema del círculo de Gershgorin que todo valor propio de la matriz cuadrada $A$ se encuentra en al menos uno de los discos de Gershgorin $D(a_{ii} , R_i)$ , dónde $D(a_{ii} , R_i)$ es un disco cerrado centrado en $a_{ii}$ con radio $R_i = \sum_{ j \neq i } |a_{ij} |$ . Entonces tenemos una estimación del rango de los valores propios, pero no responde directamente a mi pregunta.

Surb

Como puede ver en mi respuesta, esto depende de la elección de

α

$\alpha$ .

Desaparecido en combate

si me habia dado cuenta muchas gracias tu respuesta es muy clara @Surb

Respuestas (1)

Relación entre los coeficientes de una matriz y sus valores propios

Como puede ver en mi respuesta, esto depende de la elección de $\alpha$ .
si me habia dado cuenta muchas gracias tu respuesta es muy clara @Surb

Surb · Answer 1

Pregunta: Deja $A=(a_{i,j})\in\{0,1\}^{n\times n}$ , encontrar $I\subset [0,\infty)$ tal que
$α \in I ⟺ {\begin{cases} α ρ (A) < 1 \\ α a_{i, j} < 1 & \forall i, j = 1, \dots, norte \end{cases}$ $\alpha \in I\qquad \iff \qquad \begin{cases}\alpha\ \rho(A)<1 \\ \alpha\ a_{i,j}<1 & \forall i,j=1,\ldots,n\end{cases}$

Respuesta:
- Si $\rho(A)>0$ , entonces $I=\big[0,\min\{1,\rho(A)^{-1}\}\big).$
- Si $\rho(A)=0$ y $A\neq 0$ , entonces $I= [0,1)$
- Si $A=0$ , entonces $I =[0,\infty)$ .

Tenga en cuenta que si $\rho(A)> 0$

α ρ (A) < 1 ⟺ α < ρ (A)^{- 1} y α a_{i, j} < 1 \forall i, j ⟺ α < 1.

$\alpha \ \rho(A)< 1 \quad\iff\quad \alpha < \rho(A)^{-1} \qquad \text{and}\qquad \alpha \ a_{i,j}<1\quad \forall i,j\quad \iff\quad \alpha <1.$ Donde hemos usado eso

ρ (A) > 0

$\rho(A)>0$ implica

A \neq 0

$A\neq 0$ y así hay

i, j

$i,j$ tal que

a_{i, j} = 1

$a_{i,j}=1$ .
Si

ρ (A) = 0

$\rho(A)=0$ y

A \neq 0

$A\neq 0$ , entonces

0 = α ρ (A) < 1 y α a_{i, j} < 1 \forall i, j ⟺ α < 1

$0=\alpha \ \rho(A)< 1 \qquad \text{and}\qquad \alpha \ a_{i,j}<1\quad \forall i,j\quad \iff\quad \alpha <1$ Si

A = 0

$A=0$ entonces los resultados son obvios.

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Surb

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