Relación entre la velocidad y la posición debido a la verificación constante de la prueba de tirones [cerrado]

Question

Relación entre la velocidad y la posición debido a la verificación constante de la prueba de tirones [cerrado]

Kavinkul

En aceleración constante y movimiento lineal (1D), podemos mostrar que la relación entre la velocidad y la posición es cuadrática (parábola) por
Podemos escribir $v$ en forma de $v=v(x(t))$

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d X} \cdot \frac{d X}{d t} a = v \cdot \frac{d v}{d X} \int a d X = \int v \cdot \frac{d v}{d X} d X a X = \frac{v^{2}}{2} + C

$\begin{equation} a=\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \\ a=v\cdot\frac{dv}{dx}\\ \int a\text{ }dx = \int v\cdot\frac{dv}{dx} \text{ } dx\\ ax = \frac{v^2}{2} + C \end{equation}$ Esta relación no es complicada de probar, tampoco implica una relación de tiempo entre la velocidad o la posición (es decir, no necesitamos encontrar v(t) y x(t).) Entonces, creo que se puede hacer en manera similar bajo la condición de tirón constante (y por supuesto no 0).
My Attempt: Jerk se define por

J = \frac{d a}{d t}

$J=\frac{da}{dt}$

j = \frac{d a}{d t} = \frac{d a}{d v} \cdot \frac{d v}{d t} j = a \cdot \frac{d a}{d v} j v + C_{1} = \frac{a^{2}}{2} a = \pm \sqrt{2 j v + C_{2}}; C_{2} = 2 C_{1}

$\begin{equation} J=\frac{da}{dt}=\frac{da}{dv} \cdot \frac{dv}{dt}\\ J=a \cdot \frac{da}{dv} \\ Jv+C_1 = \frac{a^2}{2}\\ a= \pm\sqrt{2Jv+C_2}\text{ }; C_2 = 2C_1 \end{equation}$ La aceleración se define por

a = \frac{d v}{d t}

$a=\frac{dv}{dt}$

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d X} \cdot \frac{d X}{d t} a = v \cdot \frac{d v}{d X} \pm \sqrt{2 j v + C_{2}} = v \cdot \frac{d v}{d X}

$\begin{equation} a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}\\ a=v \cdot \frac{dv}{dx}\\ \pm\sqrt{2Jv+C_2}=v \cdot \frac{dv}{dx} \end{equation}$ Resuelve esta DE y obtendremos

X = \pm \frac{(j v - C_{2}) \sqrt{2 j v + C_{2}}}{3 j^{2}} + C_{3}

$\begin{equation} x=\pm \frac{(Jv-C_2)\sqrt{2Jv+C_2}}{3J^2}+C_3 \end{equation}$ Aquí es donde empiezo a pensar si hay algún error en mi solución. Porque la solución parece ser muy fea. Pero si la solución es correcta, me gustaría ver una prueba más fácil. Así que por favor verifique esta prueba.

proyecto de ley n

Consulte la política sobre "verificar mi trabajo" aquí: meta.physics.stackexchange.com/q/6093

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Relación entre la velocidad y la posición debido a la verificación constante de la prueba de tirones [cerrado]

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Juan Alexiou · Answer 1

Tienes

j = \frac{d a}{d t} = \frac{d a}{d v} \frac{d v}{d t} = \frac{d a}{d v} a

$J = \frac{{\rm d}a}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}a}{{\rm d}v} \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}a}{{\rm d}v} a$

Con $v_1$ y $a_1$ como condiciones iniciales entonces:

\int j d v = \int a d a = \frac{1}{2} a^{2} + C j (v - v_{1}) = \frac{1}{2} (a^{2} - a_{1}^{2})} a = \sqrt{a_{1}^{2} + 2 j (v - v_{1})}

$\left. \int J {\rm d}v = \int a {\rm d}a = \frac{1}{2} a^2 + C \\ J (v-v_1) = \frac{1}{2} \left( a^2 - a_1^2 \right) \right\} a = \sqrt{a_1^2+2 J (v-v_1)}$

La posición se encuentra a partir de la aceleración con

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d X} \frac{d X}{d t} = \frac{d v}{d X} v

$a=\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} v$

X = \int \frac{v}{a} d v = \int \frac{v}{\sqrt{a_{1}^{2} + 2 j (v - v_{1})}} d v

$x = \int \frac{v}{a} {\rm d}v = \int \frac{v}{\sqrt{a_1^2+2 J (v-v_1)}} {\rm d}v$

X - X_{1} = \frac{(j (v + 2 v_{1}) - a_{1}^{2}) \sqrt{2 j (v - v_{1}) + a_{1}^{2}} - a_{1} (3 j v_{1} - a_{1}^{2})}{3 j^{2}}

$x - x_1 = \frac{ \left( J (v+2 v_1)-a_1^2 \right) \sqrt{2 J(v-v_1)+a_1^2} - a_1 (3J v_1-a_1^2)}{3 J^2}$

Entonces no, con un tirón constante, no tienes una relación parabólica entre la posición y la velocidad.

Sin embargo, existe una relación cúbica que se describe como

(X - C_{1})^{2} = \frac{v - C_{2}}{C_{4}} + \frac{(v - C_{3})^{3}}{C_{5}}

$(x-c_1)^2 = \frac{v-c_2}{c_4} + \frac{(v-c_3)^3}{c_5}$

\begin{aligned} C_{1} & = \frac{3 j^{2} X_{1} - 3 j a_{1} v_{1} + a_{1}^{3}}{3 j^{2}} \\ C_{2} & = \frac{5 (a_{1}^{2} - 2 j v_{1})}{6 j} \\ C_{3} & = \frac{a_{1}^{2} - 2 j v_{1}}{2 j} \\ C_{4} & = \frac{6 j^{3}}{a_{1}^{2} (4 j v_{1} - a_{1}^{2}) - 4 j^{2} v_{1}^{2}} \\ C_{6} & = \frac{9 j}{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} c_1 & = \frac{3 J^2 x_1 -3 J a_1 v_1 + a_1^3}{3 J^2} \\ c_2 & = \frac{5 (a_1^2-2 J v_1)}{6 J} \\ c_3 & = \frac{a_1^2-2 J v_1}{2 J} \\ c_4 & = \frac{6 J^3}{a_1^2 (4 J v_1 - a_1^2)-4 J^2 v_1^2} \\ c_6 & = \frac{9 J}{2} \end{aligned}$

Stesh · Answer 2

Déjame reformular tu primera parte, con constante $a$ . Las soluciones estándar, que involucran tiempo, son:

a (t) = a v (t) = a t + v_{0} X (t) = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + X_{0}

$a(t)=a\\ v(t)=a t +v_0\\ x(t)=\frac{1}{2}a t^2+v_0 t+x_0$

A partir de esto, está claro cómo obtener su solución. Eliminar $t$ de las últimas 2 ecuaciones, por ejemplo, completando cuadrados:

a X (t) = \frac{1}{2} [a^{2} t^{2} + 2 a v_{0} t + v_{0}^{2}] + [a X_{0} - \frac{1}{2} v_{0}^{2}] = \frac{1}{2} v (t)^{2} + C

$a x(t)=\frac{1}{2}[a^2 t^2+2 a v_0 t+v_0^2]+[a x_0-\frac{1}{2}v_0^2]=\frac{1}{2} v(t)^2+C$ Puedes leer tu constante

C = [a x_{0} - \frac{1}{2} v_{0}^{2}]

$C=[a x_0-\frac{1}{2}v_0^2]$ .

Generalizando esto a un "imbécil" constante $J$ , conseguirás:

j (t) = j a (t) = j t + a_{0} v (t) = \frac{1}{2} j t^{2} + a_{0} t + v_{0} X (t) = \frac{1}{6} j t^{3} + \frac{1}{2} a_{0} t^{2} + v_{0} t + X_{0}

$J(t)=J\\a(t)=J t+a_0\\ v(t)=\frac{1}{2}J t^2+a_0 t +v_0\\ x(t)=\frac{1}{6}J t^3+\frac{1}{2}a_0 t^2+v_0 t+x_0$

De manera análoga a la anterior se encuentra: $J v(t)=\frac{1}{2} a(t)^2+C'$ dónde $C'=[J v_0-\frac{1}{2}a_0^2]$ se relaciona con su $C_1$ .

Finalmente, tienes dos opciones para obtener $t$ :

(yo) de la $a(t)$ ecuación: esto da una lineal $t(a)$ que puedes enchufar $x(t)$ para obtener $x(a)$ , y todo va bien en el $J\to 0$ límite;

(ii) de la cuadrática $v(t)$ ecuación, que te da la $\pm\sqrt{\ldots}$ cosas, y que va raro en el $J\to 0$ límite.

Relación entre la velocidad y la posición debido a la verificación constante de la prueba de tirones [cerrado]

Kavinkul

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Juan Alexiou

Stesh

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