encontrar la velocidad a lo largo de una curva con ecuaciones cinemáticas usando el tiempo

Question

encontrar la velocidad a lo largo de una curva con ecuaciones cinemáticas usando el tiempo

cris

(No estoy buscando ayuda para codificar. Necesito ayuda para configurar las matemáticas).

estoy escribiendo un programa para una clase de física para encontrar la velocidad de un objeto a través de una curva aleatoria. donde la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad (g).

el objetivo es comparar los resultados encontrados de las ecuaciones cinemáticas. con el valor encontrado a partir de la conservación de la energía.

Actualmente estoy encontrando las velocidades instantáneas en cada punto a lo largo de la curva y sumando los valores. así que básicamente este V^2 = 2*A*S. donde A = sin(theta)*g , theta = arctan(dy/dx) y S = la longitud del arco. sumo los V ^ 2 para cada intervalo y saco su raíz. esto es dar la respuesta correcta.

sin embargo, mi profesor quiere que use una ecuación que también usa el tiempo. y este es el problema, no tengo ni idea de cómo hacer esto. ya que no estoy seguro de cómo determinar el cambio en la aceleración con respecto al tiempo a lo largo de una ruta fija (por ejemplo, una curva que parece y = x ^ 2).

Podría estar malinterpretando lo que está solicitando. sin embargo, incluso si lo soy, si esto es posible, me gustaría saber cómo se hace.

Creo que esto tiene que ver con idiotas, pero no sé cómo encontraría un valor que se ajuste a una curva fija. He buscado ejemplos de idiotas y encontré algunos que han sido útiles, pero ninguno relacionado con seguir un camino a lo largo de alguna superficie.

como nota al margen, ya estoy definiendo mis curvas de forma paramétrica, ya que me permitió solucionar el problema de "dx = 0". y en caso de que esa resulte ser la forma de resolver esto.

Pensé que podía integrar numéricamente (r = x +v*t+.5*a*t^2) encontrando la aceleración instantánea para cada intervalo de tiempo y usándola para encontrar V y luego el cambio de posición. sin embargo, no siempre obtengo respuestas que tengan sentido sin importar el tamaño de delta t.

aquí hay una foto

Gracias por toda tu ayuda.

cris

floris

¿Estás pensando en hacer esto por integración numérica? Para una curva arbitraria, parece ser la única forma posible, momento en el que el tiempo aparecerá en sus ecuaciones si integra para un pequeño paso de tiempo fijo. ¿Podría ser eso lo que buscas?

cris

eso es lo que he estado pensando que tengo que hacer. es lo que he estado haciendo con el primer método ya. sin embargo, no he podido obtener nada que tenga sentido.

Respuestas (1)

encontrar la velocidad a lo largo de una curva con ecuaciones cinemáticas usando el tiempo

¿Estás pensando en hacer esto por integración numérica? Para una curva arbitraria, parece ser la única forma posible, momento en el que el tiempo aparecerá en sus ecuaciones si integra para un pequeño paso de tiempo fijo. ¿Podría ser eso lo que buscas?
eso es lo que he estado pensando que tengo que hacer. es lo que he estado haciendo con el primer método ya. sin embargo, no he podido obtener nada que tenga sentido.

Juan Alexiou · Answer 1

Entonces, si el camino se describe paramétricamente con $\vec{r}(q) = (x(q),y(q))$ necesita definir los vectores tangente y normal para describir el movimiento $\ddot{q}$ y la fuerza de reacción $F$ .

El vector de velocidad cinemática es

\vec{v} (q, \dot{q}) = (\dot{X}, \dot{y}) = (\frac{d X}{d q} \dot{q}, \frac{d y}{d q} \dot{q}) = (X^{'} \dot{q}, y^{'} \dot{q})

$\vec{v}(q,\dot{q}) = (\dot{x},\dot{y}) = ( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}q} \dot{q}, \frac{{\rm d}y}{{\rm d}q} \dot{q} ) = (x' \dot{q}, y' \dot{q})$

donde el $\square{ }'$ la notación es derivada con el parámetro $q$ y $\dot{\square}$ derivada con el tiempo. Entonces la velocidad es $v(q,\dot{q}) = \dot{q}\sqrt{x'^2+y'^2}$ , o a la inversa cuando se conoce la velocidad, el parámetro varía en $\dot{q} = \frac{v}{ \sqrt{x'^2+y'^2}}$

El vector tangente es

\vec{mi} (q) = (\frac{X^{'}}{\sqrt{X^{' 2} + y^{' 2}}}, \frac{y^{'}}{\sqrt{X^{' 2} + y^{' 2}}})

$\vec{e}(q) = ( \frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}, \frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}})$

y el vector normal

\vec{norte} (q) = (- \frac{y^{'}}{\sqrt{X^{' 2} + y^{' 2}}}, \frac{X^{'}}{\sqrt{X^{' 2} + y^{' 2}}})

$\vec{n}(q) = ( -\frac{y'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}, \frac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}})$

Finalmente el vector de aceleración cinemática es

\vec{a} (q, \dot{q}, \ddot{q}) = (X^{'} \ddot{q} + X^{″} {\dot{q}}^{2}, y^{'} \ddot{q} + y^{″} {\dot{q}}^{2})

$\vec{a}(q,\dot{q},\ddot{q}) = ( x' \ddot{q} + x'' \dot{q}^2, y' \ddot{q} + y'' \dot{q}^2 )$

El vector aceleración se puede descomponer en aceleración tangencial $\vec{a}_T = \dot{v} \vec{e}$ y aceleración transversal $\vec{a}_L = \frac{v^2}{\rho} \vec{n}$ dónde $\rho$ es el radio instantáneo de curvatura. De lo anterior se encuentra que

\vec{norte} \cdot \vec{a} = \frac{v^{2}}{ρ} = {\dot{q}}^{2} \frac{X^{' 2} + y^{' 2}}{ρ}

$\vec{n} \cdot \vec{a} = \frac{v^2}{\rho} = \dot{q}^2 \frac{x'^2+y'^2}{\rho}$

ρ (q) = \frac{(X^{' 2} + y^{' 2})^{\frac{3}{2}}}{y^{″} X^{'} - y^{'} X^{″}}

$\rho(q) = \frac{ (x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}{y'' x'-y' x''}$

Ahora puedes enunciar las ecuaciones de movimiento

F \vec{norte} + metro \vec{gramo} = metro \vec{a}

$F \vec{n} + m \vec{g} = m \vec{a}$

lo que resulta en

\begin{aligned} F & = metro \frac{{\dot{q}}^{2} (y^{″} X^{'} - y^{'} X^{″}) + gramo X^{'}}{\sqrt{X^{' 2} + y^{' 2}}} \\ \ddot{q} & = - \frac{{\dot{q}}^{2} (X^{'} X^{″} + y^{'} y^{″}) + gramo y^{'}}{X^{' 2} + y^{' 2}} \end{aligned}

$\boxed{ \begin{aligned} F &= m \frac{ \dot{q}^2 (y'' x'-y' x'')+g x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}} \\ \ddot{q} &= - \frac{ \dot{q}^2 (x' x'' + y' y'')+g y'}{x'^2+y'^2} \end{aligned} }$

Ejemplo

Una trayectoria parabólica con $\vec{r} = (q,q^2)$ tiene $\vec{v} = (\dot{q},2q \dot{q})$ y $\vec{a} = (\ddot{q}, 2 q \ddot{q} + 2 \dot{q}^2)$ . Esto se debe a las derivadas parciales

\begin{aligned} X & = q & y & = q^{2} \\ X^{'} & = 1 & y^{'} & = 2 q \\ X^{″} & = 0 & y^{″} & = 2 \end{aligned}

$\begin{aligned} x & = q & y & = q^2 \\ x' &= 1 & y' &= 2 q \\ x'' &= 0 & y'' &= 2 \end{aligned}$

Las fórmulas para la fuerza de reacción y el movimiento anteriores son

\begin{aligned} F & = metro \frac{gramo + 2 {\dot{q}}^{2}}{\sqrt{1 + 4 q^{2}}} \\ \ddot{q} & = - q \frac{2 (gramo + 2 {\dot{q}}^{2})}{1 + 4 q^{2}} \\ v & = \dot{q} \sqrt{1 + 4 q^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} F&= m \frac{g + 2 \dot{q}^2}{\sqrt{1+4 q^2}} \\ \ddot{q} &= -q \frac{2(g+2 \dot{q}^2)}{1+4 q^2} \\ v &= \dot{q} \sqrt{1+4 q^2} \end{align}$

La aproximación de movimiento pequeño ( $q \ll 1$ , $\dot{q} \rightarrow 0$ ) resulta en

F = metro gramo

$F = m g$

\ddot{q} = - 2 gramo q

$\ddot{q} = -2 g q$

que es movimiento armónico simple con periodo $\tau = \frac{\sqrt{2} \pi}{\sqrt{g}}$ .

Si solo le importa el movimiento a lo largo de la curva, ¿no puede simplificar esto significativamente? Simplemente ponga todo en términos del parámetro a lo largo de la curva y conozca la aceleración a lo largo de la curva como el componente de gravedad resuelto a lo largo de la curva. Si bien puede haber aceleración a lo largo del otro eje, sabe que permanece en la curva. ¿O me estoy perdiendo algo?
Esto es tan simple como parece con el escenario de la curva general. Consulte physics.stackexchange.com/a/83592/392 para ver un ejemplo. Para una curva de forma específica, las ecuaciones se simplifican.
Eso es lo que $\ddot{q}=\ldots$ la ecuacion es. Todos los derivados $x'$ $y'$ $x''$ y $y''$ son sólo una función del parámetro $q$ .
Floris, si entiendo bien tu comentario, eso es lo que estoy haciendo actualmente. básicamente encontrar delta S a lo largo de la curva y combinarlo con el componente de la gravedad en cada punto para obtener la velocidad. el truco está en tratar de encontrar la velocidad basada en delta T.
ja72 intentaré trabajar con tu ejemplo y publicar el resultado para ver si encontré la respuesta correcta. espero estar cerca de corregir
@ ja72 no entiendo algo si x = q y y = q^2 entonces la segunda derivada de x es cero, lo que parece que no hay movimiento en la dirección x y peor aún si la trayectoria del movimiento es solo vertical .
ok, ahora por primera vez, el paso (v) será 0, por lo que qdot será cero. así que voy a tener que rastrear (v) independientemente de estas ecuaciones, ¿correcto? y para seguir el movimiento con respecto al tiempo, la ecuación x = xi + v t+1/2*a t^2 se vería así w(x(q)) = r(q) + v(q,dq/ dt) *t + 1/2 * a(q, dq/dt, d^2q/dt^2)*t^2 y luego encuentre el vector similar para y. o estoy completamente fuera de lugar?
Actualmente estoy encontrando los componentes en cada punto de la curva cambiando el eje xy para que se ajuste a la curva a medida que me muevo a lo largo de ella. entonces eso puede confundirme con cómo funciona su ecuación
Es un sistema de segundo orden de 1 dof, por lo que todo lo que necesita rastrear es $q$ y $\dot{q}$ . Velocidad $v$ se calcula a partir de $\dot{q}$ y no al revés.
Tal vez necesite editar la pregunta con una representación de la curva. Sin esta información sería difícil poder ayudarte más.

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