Relación entre la renormalización wilsoniana y la renormalización contratérmino

Me gusta pensar en ello como se describe en este artículo .por Shankar. En la renormalización de contratérminos, esencialmente está estudiando la renormalización wilsoniana, pero con la intención de enviar el corte al infinito al final (como es necesario para tener una definición continua de una teoría de campo). Las "divergencias" UV que aparecen en la teoría de la perturbación son el resultado de tomar este límite de manera descuidada. Los contratérminos son una construcción matemática que le permite tomar este límite con más cuidado. El hecho de que los contratérminos puedan ser diferentes dependiendo del esquema de renormalización, pero la física debe ser independiente de la elección del esquema, es lo que lleva a la idea de la dependencia de la escala y los acoplamientos en ejecución en la imagen del contratérmino (es por eso que somos libres de usar MS, MS bar o en shell, y no se preocupe por los conflictos en las predicciones). Desde este punto de vista, en la renormalización contratérmino, integramos los modos por encima de algún límite, lo que (como sabemos por la imagen wilsoniana) da resultados finitos para los acoplamientos como funciones del límite. Luego usamos este resultado para definir el límite continuo de la teoría del campo, empujando el corte al infinito, lo que equivale a tomarlo mucho más grande que cualquier escala de interés. Esto nos deja con contratérminos que capturan el comportamiento límite de la dependencia de corte necesaria para que exista el límite, y una escala de masa arbitraria que captura lo que la imagen wilsoniana nos dijo sobre el comportamiento de escala de la teoría. Para la otra parte de su pregunta, sí, la renormalización wilsoniana se puede realizar en bucle. por simetría,

Me gustaría agregar una nota adicional: la información restante de la renormalización wilsoniana de una teoría de campo renormalizable perturbativamente después de que se ha tomado el límite continuo también puede verse como la información que nos informa sobre la anomalía de la invariancia de escala. Desde este punto de vista, la renormalización wilsoniana es una forma más cuidadosa de manejar cómo se comporta la invariancia de escala a nivel cuántico, al estudiar la forma correcta de aplicar una transformación de escala a la integral de trayectoria. Esto es análogo a cómo Fujikawa calculó la anomalía quiral; miró el hecho de que la medida de la integral de trayectoria rompía la simetría. En este caso, no es tan "obvio" como la medida que rompe la simetría, son las correcciones de bucle que aparecen en la acción efectiva wilsoniana las que rompen la simetría.casos muy especiales !).

Espero que esto haya ayudado.

Editar: Ha pasado algún tiempo desde que escribí la respuesta original, y no estoy completamente satisfecho con ella (recientemente me volvieron a surgir algunos problemas relacionados con estos conceptos). La descripción aquí es, por supuesto, muy aproximada. El punto de vista wilsoniano nos brinda una filosofía para comprender las teorías de campo efectivas y por qué funciona la renormalización, pero en los cálculos complicados se prefiere la forma antigua. Las ideas del "Grupo de Renormalización Exacta" son lo más cercano que existe para hacer que la conexión entre los puntos de vista sea precisa, pero incluso en esos casos, los cálculos en el esquema de Wilson son simplemente intratables. Al final del día, todo se reduce a una cuestión de filosofía y pragmatismo. La mejor opción es utilizar la renormalización de contratérminos para calcular y la vista de Wilson para interpretar.

Es posible hacer una renormalización wilsoniana usando contratérminos. Esta es la idea principal seguida por la escuela francesa de QFT constructivo en torno a Feldman, Magnen, Rivasseau y Sénéor. Puede aprender sobre este punto de vista en el libro "From Perturbative to Constructive Renormalization" de Vincent Rivasseau (especialmente el Capítulo II.4 sobre la llamada expansión efectiva ). También puedes encontrar el libro aquí .

La idea básica es introducir una descomposición multiescala ( Littlewood-Paley ) de su campo$\phi=\sum_{i=0}^{\infty}\phi_i$donde los modos de Fourier de$\phi_i$vivir en el caparazón$2^i<|p|<2^{i+1}$. En presencia de un corte UV (que se eliminará al final), la suma se detiene en, digamos, un número grande$n$. ahora un$\phi^4$vértice con acoplamiento desnudo$g$en la acción se convierte

$$g\ \phi(x)^4=\sum_{i_1,i_2,i_3,i_4=0}^{n} g\ \phi_{i_1}(x)\phi_{i_2}(x)\phi_{i_3}(x)\phi_{i_4}(x)\ .$$ Esto se puede reescribir como $$g\phi(x)^4=\sum_{i_1,i_2,i_3,i_4=0}^{n} g_{\max\{i_1,i_2,i_3,i_4\}}\ \phi_{i_1}(x)\phi_{i_2}(x)\phi_{i_3}(x)\phi_{i_4}(x)\ $$ $$+ \sum_{G} c_{G} \sum_{i_1,\ldots,i_4<i(G)} \phi_{i_1}(x)\phi_{i_2}(x)\phi_{i_3}(x)\phi_{i_4}(x)\ .$$ los$G$son subgrafos divergentes (con cuatro patas externas) y$c_{G}$es el contratérmino correspondiente. La escala de resta de tal gráfico denotada por$i(G)$es el minimo$i$índice de líneas internas a$G$. Finalmente, para que la identidad se mantenga, es necesario introducir acoplamientos en ejecución.$g_i$tal que$g_n=g$(el acoplamiento desnudo) y determinado por un flujo wilsoniano (discreto) $$g_{i-1}=g_i-\sum_{G} c_{G}$$ donde la suma es sobre todos los gráficos con$i(G)=i$.

En lugar de expandir la teoría de la perturbación en el único acoplamiento$g$uno ahora tiene una expansión en todos los$g_i$'arena$c_G$'s. Estos últimos se determinan imponiendo la cancelación de todas las partes locales ($\tau$operación en la renormalización BPHZ anticuada) de los subgrafos divergentes$G$. La diferencia con BPHZ es la siguiente. En BPHZ, los subgrafos$G$se restan independientemente del orden de frecuencia relativa de las líneas internas frente a las externas. En el enfoque que describí (que es solo una reformulación de la renormalización wilsoniana), estos subgrafos se restan solo cuando son realmente peligrosos (producen divergencias UV), es decir, cuando las líneas internas son de mayor frecuencia que las externas. Las renormalizaciones "inútiles" de BPHZ realizadas cuando esta condición no se cumple no solo no tienen nada que ver con curar las divergencias sino que crean un nuevo problema, el de las renormalizaciones .