Relación entre el propagador y la probabilidad para el pozo infinito

Question

Relación entre el propagador y la probabilidad para el pozo infinito

Ali Esquembre Kucukalic

Esta puede ser una pregunta fácil, pero estoy realmente confundido al respecto.

Para el pozo cuadrado infinito, las funciones propias de energía (dependientes del tiempo) son (dentro del pozo):

ψ_{norte} (X, t) = \sqrt{2 / L} {mi}^{- i {mi}_{norte} t / ℏ} s i norte (\frac{norte π}{L} X)

$\psi_n(x,t) = \sqrt{2/L}\:e^{-iE_nt/\hbar}\:sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$

con $E_n = \frac{n^2\pi^2}{2mL^2}\hbar^2$ los valores propios de la energía, y $L$ , el ancho del pozo. Entonces, la probabilidad de encontrar una partícula de energía $E_m$ entre $x = a$ y $x = b$ en el momento $t$ viene dada por la regla de Born:

PAG (a, b; t) = \int_{a}^{b} ψ_{metro} (X)^{*} ψ_{metro} (X) d X

$P(a,b;t) = \int_{a}^{b}\psi_m(x)^*\psi_m(x)dx$

Esta probabilidad podría entenderse como la probabilidad de que una partícula se encuentre entre $a$ y $b$ en algún momento, y cada $|\psi_m(x)^*\psi_m(x)|^2$ es una probabilidad al cuadrado .

Por otro lado, el propagador es la amplitud para que la partícula viaje $a\rightarrow b$ a tiempo $t_a\rightarrow t_b$ :

PAG r o pag a gramo a t o r = ⟨ X_{b}, t_{b} | X_{a}, t_{a} ⟩ = ⟨ X_{b}, t_{b} | (\sum_{metro} | metro ⟩ ⟨ metro |) | X_{a}, t_{a} ⟩ = \sum_{metro} ψ_{metro} (X_{b}, t_{b})^{*} ψ_{metro} (X_{a}, t_{a}) = \sum_{metro} {mi}^{i {mi}_{metro} (t_{b} - t_{a}) / ℏ} ψ_{metro} (X_{b})^{*} ψ_{metro} (X_{a})

$Propagator = \langle x_b,t_b\rvert x_a,t_a\rangle = \langle x_b,t_b\rvert(\sum_m\rvert m\rangle\langle m\rvert)\rvert x_a,t_a\rangle = \sum_m\psi_m(x_b,t_b)^*\psi_m(x_a,t_a) = \sum_m e^{iE_m(t_b-t_a)/\hbar}\psi_m(x_b)^*\psi_m(x_a)$

Entonces, mi pregunta es: si el propagador es una amplitud, entonces elevarlo al cuadrado debería dar una probabilidad. Sin embargo, elevando al cuadrado la ecuación (3):

{PAG}_{a \to b} = | ⟨ X_{b}, t_{b} | X_{a}, t_{a} ⟩ |^{2} = {| \sum_{metro} {mi}^{i {mi}_{metro} (t_{b} - t_{a}) / ℏ} ψ_{metro} (X_{b})^{*} ψ_{metro} (X_{a}) |}^{2}

$P_{a\rightarrow b} = |\langle x_b,t_b\rvert x_a,t_a\rangle|^2 = \left|\sum_m e^{iE_m(t_b-t_a)/\hbar}\psi_m(x_b)^*\psi_m(x_a)\right|^2$

que obviamente no es una probabilidad, ya que un miembro como $|\psi_m(x)^*\psi_m(x)|^2$ es en realidad una probabilidad al cuadrado . Entonces, ¿cómo puedo obtener una probabilidad del propagador?

Respuestas (2)

Relación entre el propagador y la probabilidad para el pozo infinito

Observador inercial · Answer 1

que obviamente no es una probabilidad, ya que un miembro como $|\psi_m(x)^*\psi_m(x)|^2$ es en realidad una probabilidad al cuadrado. Entonces, ¿cómo puedo obtener una probabilidad del propagador?

Correcto, pero solo una de tus x es una variable y contribuye a la amplitud de probabilidad. Recuerda que tu estado inicial es $|x_0,t_0\rangle$ , por lo que si deseamos expandirnos en estados propios escribimos (permítanme tomar $t_0 = 0$ )

| Ψ (X_{0}, 0) ⟩ = | X_{0}, t_{0} ⟩ = \sum_{metro} | metro ⟩ ⟨ metro | X_{0}, t_{0} ⟩

$|\Psi(x_0, 0)\rangle = |x_0,t_0\rangle= \sum_m |m\rangle\langle m|x_0,t_0\rangle$

De manera similar, podemos expandir el estado final en estados propios

| Ψ (X, t) ⟩ = | X, t ⟩ = \sum_{norte} {mi}^{i {mi}_{norte} t} | norte ⟩ ⟨ norte | X, t ⟩

$|\Psi(x, t)\rangle = |x,t\rangle= \sum_n e^{iE_nt}|n\rangle\langle n|x,t\rangle$

de modo que si tomamos la superposición, las sumas colapsarán a uno

⟨ X, t | X_{0}, t_{0} ⟩ = \sum_{metro} {mi}^{i {mi}_{metro} t / ℏ} ⟨ X, t | metro ⟩ ⟨ metro | X_{0}, t_{0} ⟩ = ⟨ X, t | \sum_{metro} {mi}^{i {mi}_{metro} t / ℏ} | metro ⟩ ⟨ metro | X_{0}, t_{0} ⟩

$\langle x,t\rvert x_0,t_0\rangle = \sum_m e^{iE_mt/\hbar} \langle x ,t|m\rangle\langle m|x_0,t_0\rangle= \langle x ,t| \sum_m e^{iE_mt/\hbar} |m\rangle\langle m|x_0,t_0\rangle$

El punto es que los términos "extra" no son parte de tu densidad, son constantes con respecto a la posición final.

Además, tenga cuidado. Esto no dará la probabilidad. Lo que dará la probabilidad es

PAG (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} | ⟨ X, t | X_{0}, t_{0} ⟩ |^{2} d X

$P(a\leq x \leq b)= \int_{a}^b |\langle x,t\rvert x_0,t_0\rangle |^2 dx$

Creo que el OP estaba preguntando sobre los términos "adicionales" en un sentido dimensional. En particular, desde $\psi_m(x)^*\psi_m(x_0)$ ya tiene la dimensión de una densidad de probabilidad (independientemente de si $x_0$ es una constante o no), su módulo cuadrado tendría dimensiones problemáticas para que sea una densidad de probabilidad. Disculpas si te entendí mal a OP o a ti.
Muchas gracias por la gran respuesta. Todo está más claro, pero el problema dimensional lo acaba de señalar Dvij Mankad. ¿Sabes cómo arreglarlo?
Creo que, dado que los estados final e inicial son estados propios de posición, eso es descartar las dimensiones. Creo que esto podría ayudar un poco physics.stackexchange.com/questions/185962/…
No lo veo tan claro. Como está escrito en alguna respuesta a la pregunta que citó, si $\int\rvert x\rangle\langle x\rvert dx= 1$ , entonces necesitamos las dimensiones de $\rvert x \rangle$ ser $1/\sqrt{L}$ . Entonces, nuevamente, supongo que cualquier bra-ket como $\langle x_b, t_b \rvert x_a, t_a \rangle$ tendrá unas dimensiones de 1/L. Si es así, entonces $\int_a^b|\langle x_b, t_b \rvert x_a, t_a \rangle |^2dx$ no es una probabilidad.
@AliEsquembreKucukalic una cosa que me ronda por la cabeza es que en realidad debería ser una integral doble, pero no estoy del todo seguro de cómo justificarlo.
@InertialObserver No, no debería serlo. Porque los estados propios del operador de posición no son normalizables.

youpilat13 · Answer 2

Sus cálculos son perfectamente correctos, por lo que abordaré directamente el problema básico que está planteando. En particular, ¿por qué la dimensionalidad de $\langle x_b,t_b|x_a,t_a\rangle$ no tanto como para que su módulo cuadrado tenga la dimensionalidad de una densidad de probabilidad lineal, es decir, $L^{-1}$ . El tema no es sensible a la imagen que usamos, así que usaré la imagen de Schrödinger.

La razón es que en un espacio continuo, los estados propios de posición no son normalizables y están normalizados por Dirac. Los estados propios de posición se normalizan como $\langle x|y\rangle=\delta(x-y)$ . Más explícitamente, si un estado está localizado en una posición $x_0$ , su función de onda, por definición, es $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle=\langle x|x_0\rangle=\delta(x-x_0)$ . Así, la dimensionalidad de la propia función de onda es la de una densidad de probabilidad lineal ordinaria. Esto no es una inconsistencia precisamente porque se ha reconocido que tal función de onda no es normalizable y se define como una función de onda normalizada por Dirac.

Por supuesto, la normalización habitual y la normalización de Dirac no son lo mismo y no deben considerarse como dos sabores diferentes de esencialmente lo mismo. El hecho de que los estados propios de posición estén normalizados por Dirac tiene una huella en (y es esencial para) su relación con los estados normales normalizables. Un estado normalizable habitual, cuando se expresa como una combinación lineal de otros estados similares, la combinación lineal toma la forma de una suma. Mientras que, cuando un estado normalizable habitual se expresa como una combinación lineal de estados propios de posición, la combinación lineal toma la forma de una integración. Aquí, la medida de integración viene invariablemente con la dimensionalidad propia y la dimensionalidad de los estados propios de posición se vuelve esencial para hacer que la dimensionalidad de la combinación lineal sea la misma que la dimensionalidad del estado normalizable habitual. Tenga en cuenta que todo este asunto se derrumbaría si los estados propios de posición no se hubieran normalizado según Dirac, porque dado que el conjunto completo de estados propios de posición es continuo, un estado genérico normalizable tendría que expresarse como una integración de diferentes estados propios de posición. (y no como una suma habitual de ellos) y, por lo tanto, la dimensionalidad de la medida de integración haría que las ecuaciones fueran inconsistentes sin la dimensionalidad "inusual" de los estados propios de posición (que se deben a su normalización de Dirac).

Finalmente, la interpretación probabilística directa de un estado no normalizable está como tal prohibida. No obstante, son importantes ya que los estados normalizables se pueden representar como una combinación lineal de tales estados no normalizables. Ver: https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-05-quantum-physics-ii-fall-2013/lecture-notes/MIT8_05F13_Chap_01.pdf (Sección $2$ ). A menudo, uno puede inventar ciertas formas ingeniosas de pensar acerca de las interpretaciones probabilísticas de los estados no normalizables, a menudo pensando en el estado no normalizable como un límite de un estado normalizable. Por ejemplo, el delta de Dirac puede verse como un límite de una Gaussiana. De manera similar, como tales estados propios de impulso no normalizables a menudo se consideran como el límite de un conjunto discreto normalizable de estados propios de impulso en una red, etc.

Gran respuesta. Sin embargo, si los estados no normalizables no se pueden entender directamente con una probabilidad, entonces. ¿Por qué funciona la integral de trayectoria de Feynman? La ecuación integral de la trayectoria de Feynman da el propagador, que (tal vez aquí es mi error), dado que es una amplitud, debe entenderse como una probabilidad cuando se eleva al cuadrado.
@AliEsquembreKucukalic Sí, técnicamente el propagador es la amplitud de probabilidad. Al igual que la función de onda de base de posición de un estado no normalizable. Pero, más físicamente, el propagador se parece más a la función de Green. Cuando se integra como un "núcleo" junto con un estado inicial físico (es decir, un estado inicial normalizable), daría la amplitud de probabilidad física de encontrar la partícula en una determinada posición, o, de manera equivalente, la onda física evolucionada en el tiempo. función.
Incluso si es así, dado que el núcleo $K(x_b,t_b; x_a,t_a) = \langle x_b,t_b \rvert U(t_b,t_a) \rvert x_a,t_a \rangle$ tal que $\psi(x_b,t_b)=\int_{-\infty}^\infty K(x_b,t_b;x_c,t_c)\psi(x_c,t_c)dx_c$ , entonces volvemos a tener el problema de la dimensionalidad al elevar al cuadrado $\psi(x_b,t_b)$ .
@AliEsquembreKucukalic Precisamente no, porque el kernel $K$ tiene la dimensionalidad inversa exacta para cancelar la dimensionalidad de la medida de integración $dx$ . Esto es, por supuesto, simplemente una reafirmación del hecho de que los estados propios de posición están normalizados por Dirac. Para hacerlo explícito, ya que $\hat{U}$ es adimensional (ya que es solo un exponencial), la dimensionalidad del kernel es la de $\langle x_b|x_c\rangle=\delta(x_b-x_c)\sim L^{-1}$ . Así que la función de onda normalizable en LHS, $\psi_b$ tiene la misma dimensionalidad que la función de onda normalizable en el RHS, $\psi_c$ .

Relación entre el propagador y la probabilidad para el pozo infinito

Ali Esquembre Kucukalic

Respuestas (2)

Observador inercial

youpilat13

Ali Esquembre Kucukalic

Observador inercial

Ali Esquembre Kucukalic

Observador inercial

youpilat13

Observador inercial

youpilat13

Ali Esquembre Kucukalic

youpilat13

Ali Esquembre Kucukalic

youpilat13

¿Aparente contradicción entre los cálculos cuánticos y la intuición de la reflexión en el potencial de paso?

Potencial imaginario y función de onda estacionaria

¿Por qué no se pueden encontrar electrones en algunas ubicaciones de nodos en el pozo de potencial infinito? [duplicar]

Quantum introductorio, problemas con esta condición límite y potencial

Pozo cuadrado infinito de potencial negativo

Electrón viajando a través de un potencial de paso de V0V0V_0 a 0

¿Por qué ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} es una función de onda válida ya que no es finitamente integrable en RR\Bbb R?

¿Cuándo son reales las funciones propias/funciones de onda?

Estimación de la profundidad potencial mínima requerida para los estados ligados en un pozo de potencial atractivo en 3D

¿Cómo encontramos el número de estados acotados en este potencial?