¿Los sujetadores y kets tienen dimensiones?

Esta es una pregunta muy interesante. No sé si hay una respuesta general y definitiva, pero intentaré hacer algunos comentarios. Me disculpo si esto termina divagando; Estoy descubriendo esto mientras escribo esta respuesta.

Los operadores tienen dimensiones, ya que sus valores propios son cantidades físicas. Para sujetadores y kets se vuelve más complicado. Primero, en general no se puede decir que son adimensionales. Para ver por qué, considere un estado con cierta posición$|x\rangle$. Desde$\langle x | x' \rangle = \delta(x-x')$y el delta de Dirac tiene la dimensión inversa de su argumento, debe ser que$[ \langle x | ] \times [ | x \rangle ] = 1/L$. Una relación similar es válida para los estados propios de cantidad de movimiento. Por supuesto, hay poderes superiores de$L$en dimensiones superiores.

Sin embargo, considere un operador con espectro discreto, como la energía en un átomo o algo así. Entonces la ecuación apropiada es$\langle m | n \rangle = \delta_{mn}$, y dado que este delta es adimensional, los sujetadores y los kets deben tener dimensiones inversas. Esto se vuelve aún más extraño cuando se considera que el hamiltoniano para un átomo de hidrógeno tiene valores propios discretos y continuos, por lo que la relación entre las dimensiones de los bras y los kets será diferente dependiendo de la energía (o cualquier cantidad física que sea apropiada).

tenemos la ecuacion$\langle x | p \rangle = \frac1{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp(ipx/\hbar)$. Al principio pensé que esto combinado con$[\langle x |] \times [| p \rangle ] = [\langle p |] \times [| x \rangle ]$nos permitiría encontrar las dimensiones de$|x\rangle$(y todo lo demás), pero resulta que las condiciones de normalización de$|x\rangle$y$|p\rangle$forzar las dimensiones de$\langle x | p \rangle$para salir bien. Podemos encontrar eso$[|p\rangle] = \sqrt{T/M} [|x \rangle]$, pero no podemos ir más lejos. Se aplicarán relaciones similares para los estados propios de su operador favorito.

Cualquier ket dado es una combinación lineal de autokets, pero nuevamente hay sutilezas dependiendo de si el espectro es discreto o continuo. Supongamos que tenemos dos observables$O_1$y$O_2$con espectro discreto y estados propios$|n\rangle_1$y$|n\rangle_2$. Cualquier estado$|\psi\rangle$puede expresarse como una combinación lineal adimensional de los estados propios (adimensional porque desde$\langle n | n \rangle = 1$, los cuadrados de los coeficientes forman probabilidades):$|\psi\rangle = \sum_n a_n |n\rangle_1 = \sum_n b_n |n\rangle_2$. Esto implica que los autos de todos los observables con espectro discreto tienen las mismas dimensiones, y lo mismo ocurre con las eigenbras.

Se vuelve más complicado para observables con espectro continuo como$x$y$p$, debido a la medida de integración. Tenemos$|\psi\rangle = \int f(x) |x\rangle\ dx = \int g(p) |p\rangle\ dp$.$\langle \psi | \psi \rangle = 1$implica$\int |f(x)|^2\ dx = 1$, de modo que$[f] = 1/\sqrt{L}$y de la misma manera$[g] = \sqrt{T/ML}$. Esto no debería ser una sorpresa ya que$f$y$g$son transformadas de Fourier entre sí, con una$1/\sqrt{\hbar}$arrojado. De esto podemos deducir$[|p\rangle] = \sqrt{T/M} [|x \rangle]$, que ya conocíamos, y$\sqrt{L} [|x \rangle] = [|n \rangle]$.

La conclusión parece ser la siguiente. Todos los elementos propios con valores propios discretos deben tener las mismas dimensiones, pero parece que esa dimensión es arbitraria (por lo que podría tomarlos como adimensionales). Además, los estados normalizados tienen esa misma dimensión. Los estados propios con espectro continuo son más complicados; si tenemos un observable$A$(con valores propios continuos) con valores propios$a$, entonces podemos usar el hecho de que$|\psi\rangle$puede escribirse como una integral sobre estados propios de$A$o como una suma sobre estados propios discretos para encontrar que$\sqrt{[a]} [|a\rangle] = [|n\rangle]$, dónde$|n\rangle$es un eigenket discreto. Entonces, una vez que fijas las dimensiones de un ket, fijas las dimensiones de todos los demás ket.

Esta pregunta es divertida y no estoy seguro de que haya una respuesta correcta, así que quería ofrecer una perspectiva ligeramente diferente.

¿De qué se tratan las unidades? Las unidades nos dicen cómo se transforman las cantidades bajo un cambio de escala. La razón por la que decimos una distancia$d$tiene unidades de longitud, es que el valor numérico asignado a$d$será reescalado por un factor de 10 si decidimos usar milímetros en lugar de centímetros.

Por otro lado, tenemos la mecánica cuántica, donde los estados se representan mediante rayos en el espacio de Hilbert. En otras palabras, consideramos dos estados,$|\chi\rangle$y$|\phi\rangle$, para ser físicamente equivalentes si están relacionados por$|\chi\rangle = \lambda |\phi \rangle$para algún número complejo$\lambda$.

Entonces, la pregunta es, si cambiamos nuestra unidad de longitud, ¿por qué factor debemos cambiar la escala de nuestro vector de estado?

Bueno, normalmente nos ocupamos de la equivalencia de diferentes estados en un rayo eligiendo normalizar nuestros estados de alguna manera. Entonces, la pregunta es, ¿debería cambiar la normalización de los estados bajo un cambio de escala de nuestra referencia para la longitud? (o tiempo o masa o...)

Para un conjunto discreto de estados propios etiquetados por un número entero$|n\rangle$, podemos elegir con sensatez normalizar los estados como$\langle m | n \rangle = \delta_{m,n}$, donde el lado derecho es adimensional. Entonces no tiene sentido que la condición de normalización se escale con la longitud.

Para estados propios continuos, los estados no son verdaderamente normalizables, sino solo normalizables mediante una función delta$\langle x | y \rangle = \delta(x-y)$. Para evitar introducir una constante arbitraria con unidades de longitud en el lado derecho, tiene más sentido normalizar nuestros estados a escala con dimensiones de$L^{-1/2}$.

Una forma de interpretar la distinción entre estados propios continuos y discretos es observar lo siguiente.$|\langle n | \psi \rangle|^2$es la probabilidad de observar que el estado tenga un valor propio$n$, mientras$|\langle x | \psi \rangle|^2$es una densidad de probabilidad para que una partícula se encuentre en$x$.

Esta pregunta se investiga en un artículo de 2020 '¿Los sujetadores y los kets tienen dimensiones?' . En resumen, las unidades de un sostén o un ket tienen cierta libertad, como mencionaron algunos de los otros que respondieron. Una convención útil es aquella en la que las unidades de un sostén y un ket son iguales. Si tenemos estados normalizados donde

$$\langle\alpha\vert\alpha\rangle=1,$$ entonces tanto el sujetador como el ket serán adimensionales. Sus resultados se resumen en la Tabla 1 del manuscrito:

Sin embargo, si tenemos una base continua:

$$\langle x\vert y\rangle=\delta(x-y),$$ entonces las unidades de la función delta implican que los bras y kets tendrán unidades. Repitiendo los argumentos en el artículo, podemos tomarlos nuevamente como iguales. En la base de posición, esto da tanto las unidades de sujetador como las de ket de$1/\sqrt{L}$.

Muy buena pregunta.

Las medidas tienen unidad pero en la mecánica cuántica, una medida es la "evaluación" de un observable en un estado (o un estado en un observable) algo así como

$$\left\langle \psi | A | \psi \right\rangle ,\quad \psi\in\mathcal{H},\ A\in\mathcal{B}(\mathcal{H}) \ \text{self-adjoint}$$ A priori, parece existir una arbitrariedad en la elección de la unidad de $|\psi\rangle$y $A$pero por lo general la medida es una combinación convexa de los valores propios de $A$(o una integral de una densidad de probabilidad sobre el espectro) para que los valores propios realmente tengan la unidad del observable (longitud si el observable es la posición, Masa por velocidad si es el momento observable)

Si$\left\lVert \psi\right\rVert^2$tiene interpretación de densidad de probabilidad de presencia tiene unidad$\frac{1}{Volume}$(o longitud en 1 dimensión) que cancela la$dx$de integración (como has escrito en tu primera ecuación). Así que si$|\psi\rangle$no tiene dimensión, entonces$|x\rangle$de hecho tiene dimensión$\frac{1}{\sqrt{L}}$(longitud L).

OOOhhhh, gran posible confusión proveniente de la teoría cuántica de campos (y también el caso de la segunda cuantización de la ecuación de Schrödinger) cuando uno escribe la acción como un funcional de los campos, entonces estos tienen dimensiones, pero son operadores y juegan un papel que es más similar al observable$A$en lugar de un estado.