Potencial imaginario y función de onda estacionaria

Si el potencial externo$V$en la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo no depende del tiempo, entonces podemos separar la función de onda como parte espacial y parte del tiempo.

$$\Psi(x,t)=\psi(x) \theta(t)$$

$\psi(x)$es la solución de la conocida ecuación de Schroedinger independiente del tiempo, y$\theta(t) = e^{-Et/\hbar}$. Entonces la densidad de probabilidad es independiente del tiempo o estacionaria:

$$\rho=|\Psi(x,t)|^{2} = |\psi(x)|^{2}$$

De este modo,$\frac{d}{dt} \int \rho d \tau =0$.

Sin embargo, introduzca un potencial imaginario$V(\vec{x})=V_{1}(\vec{x})+i V_{2}(\vec{x})$, dónde$V_{1}$y$V_{2}$son una función real.

Entonces la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo es

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{x},t)= -\frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2} \Psi(\vec{x},t)+ \left\{V_{1}(\vec{x})+i V_{2}(\vec{x}) \right\}\Psi(x,t)$$

calculemos$\frac{d}{dt} \int \rho d \tau$en primer lugar.

$$\begin{align*} \frac{d}{dt} \int \rho d \tau &= \frac{d}{dt} \int \Psi^{\ast}\Psi d \tau = \int \frac{\partial}{\partial t}(\Psi^{\ast} \Psi)d \tau \\ &=\int \left (\Psi^{\ast} \frac{\partial}{\partial t} \Psi + \Psi \frac{\partial}{\partial t} \Psi^{\ast} \right)d \tau\\ &= \int \frac{1}{2} \mathrm{Re} \left(\Psi^{\ast} \frac{\partial}{\partial t}\Psi \right) d \tau \end{align*}$$

De la ecuación de Schroedinger dada,

$$\frac{1}{2} \mathrm{Re} \left(\Psi^{\ast} \frac{\partial}{\partial t} \Psi \right) =\frac{V_{2}(\vec{x})}{2 \hbar} \Psi^{\ast}\Psi$$

De este modo,

$$\frac{d}{dt} \int \rho d \tau = \frac{V_{2}(\vec{x})}{2 \hbar} \neq 0$$

$V_{2}$generalmente no es cero, lo que significa que la densidad no es estacionaria.

Esto violaría la afirmación de que la función de onda es estacionaria si el potencial externo no depende del tiempo.

No hay problema si el potencial es real, pero supongo que el potencial imaginario tiene una especie de significado físico. ¿Cómo puedo pensar en esto?