Tensor de energía-momento en la teoría de campos conformes

Voy a tratar de llegar al quid de sus preguntas sin preocuparme demasiado por el rigor/los detalles matemáticos (como es el camino del físico), pero espero que haya suficientes detalles para que la respuesta sea clara.

¿Por qué tiene esto algo que ver con la energía o el impulso?

Primero, un poco de historia. En física, una teoría de campos.$\phi$en un colector$M$a menudo se especifica mediante una acción$S$; un funcional que mapea una configuración de campo dada$\phi$a un número (a menudo, el conjunto objetivo de la acción es$\mathbb R$o$\mathbb C$). Para concretar, considere una teoría de campo sobre$\mathbb R^d$. Como sucede a menudo, la acción de tal teoría de campo es invariante a la traducción. Esto quiere decir que si definimos la acción del conjunto de traslaciones de$\mathbb R^d$en los campos$\phi$de la teoría de$\phi\to\phi_\epsilon$dónde

$$\phi_\epsilon(x) = \phi(x-\epsilon)$$ entonces $$S[\phi] = S[\phi_\epsilon]$$ En tales casos, un teorema en teoría de campos llamado teorema de Noether garantiza la existencia de un tensor conservado $T^{\mu\nu}$asociado con esta invariancia, a saber, uno para el cual $$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$$ Este tensor conservado asociado con la invariancia de traslación de la acción es lo que llamamos tensor de energía-momento, y este es esencialmente el tensor del que estamos hablando en el contexto de la teoría del campo conforme.

Entonces, ¿qué diablos tiene este objeto que ver con la energía y/o el impulso? Bueno, podemos motivar esto físicamente a través de ejemplos. Si toma, como ejemplo de una teoría de campos, el electromagnetismo, encontrará que los componentes$T^{\mu\nu}$del tensor de energía-momento representan físicamente cantidades como la densidad de energía almacenada en los campos. Uno encuentra, por ejemplo, que el$00$componente del tensor de energía-momento electromagnético tiene la expresión

$$T^{00} = \frac{1}{8\pi}(\mathbf E^2 + \mathbf B^2)$$ lo que se puede mostrar, por otros medios, es precisamente la densidad de energía física almacenada en los campos electromagnéticos.

La invariancia conforme está implícita en la condición$\mathrm{tr} \,T=a_1+a_3=0$. (¿Qué significa esta oración?)

Se puede demostrar que bajo una transformación de coordenadas$x\to x+\epsilon(x)$, la acción de una teoría de campo suficientemente genérica se transforma como

$$S \to S+\frac{1}{2}\int d^dx \,T^{\mu\nu}(\partial_\mu\epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu) + O(\epsilon^2)$$ Una transformación conforme tiene la propiedad de que $$\partial_\mu\epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu = \frac{2}{d}\partial_\rho \epsilon^\rho \,\delta_{\mu\nu}$$ lo que da $$S \to S+ \frac{1}{d}\int d^dx\, T^\mu_{\phantom\mu\mu}\partial_\rho\epsilon^\rho + O(\epsilon^2)$$ Observe que el integrando contiene la traza $T^\mu_{\phantom\mu\mu}$del tensor energía-momentum, y vemos que si este rastro desaparece, entonces la acción tiene la propiedad $$S \to S+ O(\epsilon^2)$$ es invariante de primer orden en $\epsilon$. Esta es una especie de "invariancia infinitesimal", como podría llamarla un físico, y es a lo que se refiere la declaración en este contexto.

que tipo de objeto es$T(z)$? y como se obtiene de$T$?.

Para una teoría de campo conforme en$\mathbb R^2$, después de ir a coordenadas complejas$z,\bar z$es posible demostrar que$\partial_{\bar z} T_{zz}(z,\bar z) = 0$, por lo que en aras de la compacidad notacional, a menudo se escribe$T_{zz}(z, \bar z) = T(z)$