Relación de equivalencia: identificación del dominio

El dominio es el conjunto de los números naturales. x~y si un número natural distinto de 1 divide por igual tanto a x como a y. ¿Es una relación de equivalencia?

La respuesta: no es una relación de equivalencia porque no es transitiva, es decir, 4~6 y 6~9 pero no es el caso que 4~9.

¿PERO POR QUÉ? Podría decir que es una relación de equivalencia porque 2~4 y 4~8 y 2~8 es transitiva. Y si la relación debe ser satisfecha por todos y cada uno de los elementos del conjunto, ¿por qué surge el siguiente problema? El dominio es el conjunto de los números enteros. x~y si x+y es par es una relación de equivalencia.

Si el dominio es el conjunto de enteros, puedo elegir x = 2 e y = 3 y obtener x + y es impar. ¿Entonces puedo decir que no es una relación de equivalencia?

Todo lo que muestra su último ejemplo es que 2 no es equivalente a 3 bajo esa relación; no muestra que el dominio de la relación no son los números naturales. Una relación de equivalencia no requiere que cada elemento del dominio sea equivalente a cualquier otro elemento del dominio; en ese caso habría una sola clase de equivalencia.
En cuanto a su pregunta sobre la transitividad: el requisito es que para todos los elementos en el dominio, si x es equivalente a y y si y es equivalente a z, entonces x debe ser equivalente a z.

Respuestas (1)

La transitividad debe ser válida para todos los elementos del conjunto. Así que en tu ejemplo, requerimos ∀ a , b , C ∈ norte , a ∼ b y b ∼ C ⟹ a ∼ C para que se mantenga la transitividad. Como tal, para mostrar que una relación no es transitiva, necesitamos encontrar un solo contraejemplo donde a ∼ b , b ∼ C , pero a no es equivalente a C . Pero para mostrar que una relación es transitiva, debe ser válida para todos los elementos del dominio.

Así que ahora analicemos la relación que definiste en los números enteros: X ∼ y si X + y incluso.

Considere cualquier X , y , z ∈ Z . Asumimos que X ∼ y y y ∼ z , y tenemos que demostrar que X ∼ z .

Bien, X ∼ y significa que X + y es par y y ∼ z significa que y + z incluso.

Caso 1: X incluso. Entonces debemos tener eso y es par, como un número par más un número impar es impar, pero X + y es par, entonces y no puede ser raro. Por la misma lógica, debemos tener que z incluso.

Entonces X + z es par, ya que la suma de dos números pares siempre es par. Por eso X ∼ z como se desee.

Caso 2: X es impar. Entonces debemos tener eso y es impar, como un número impar más un número par es impar, pero X + y es par, entonces y no puede ser par. Por la misma lógica, debemos tener que z es impar.

Entonces, X + z es par, ya que la suma de dos números impares siempre es par. Por eso X ∼ z como se desee.

Note cómo esto probó la transitividad: asumió que X ∼ y y y ∼ z , y usando esas suposiciones probó que X ∼ z . Lo que intentaste usar como contraejemplo solo mostró que 2 no es equivalente a 3 , cual es verdad. Por lo general, no es muy interesante si todos los elementos son equivalentes bajo una relación particular, ¡y muy rara vez trabajará con relaciones de equivalencia donde todos los elementos del conjunto son equivalentes! Tu ejemplo no refutó la transitividad. Para refutar la transitividad, necesitaría encontrar 3 números enteros, a , b , C , dónde a + b incluso, b + C es par, pero a + C ni siquiera es. Por supuesto, esto no es posible.

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