preguntas sobre relaciones de equivalencia

Pregunta$1$: Dejar$S = \{1,2,3,4,...,9\}$. Dejar$R$Sea la relación sobre el conjunto potencia de$S$definido por: para cada$X,Y$en el conjunto de potencia de$S$,$XRY$si y si$\{1,2,3\}$es un subconjunto de$X$o$Y$.

¿Es cierto lo siguiente?

$1$: para cada$X$en el conjunto potencia existe un conjunto$Y$en el conjunto de potencia tal que$XRY$. Creo que esto es cierto porque podemos elegir$Y$ser$\{1,2,3\}$.

$2$: Existe un conjunto$X$en el conjunto de potencias tal que para cada$Y$en el conjunto de potencia,$XRY$. Creo que esto también es cierto porque$X$puede ser$\{1,2,3\}$y la relación se mantendrá.

$3$: cuantos juegos$X$en el conjunto de potencias existen tales que$XR\{1\}$¿hay? creo que la respuesta es$2^7$porque$X$tiene que tener$\{1,2\}$en este caso pero para el resto de elementos los podemos poner o no, da igual.

Pregunta 2: dejar$A = \{1,2,3,....,250\}$. Definir$R$en$A$cruz$A$por cualquier$(a,b)$,$(c,d)$en$A$cruz$A$,$(a,b)R(c,d)$si y si$a+b = c+d$.

1: ¿Cuántas clases de equivalencia tiene R? Explique que no estoy seguro acerca de este, pero creo que lo es (250 elija 2) ? si eso es cierto como puedo explicarlo?

¡Gracias!