Relación de equivalencia ~

Question

Agua del grifo

sea S = {1,2,3,4}

Explique por qué cada una de las siguientes no es una relación de equivalencia.

{ (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3) }

{ (1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (2,2), (3,3), (4,4) }

{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,3), (3,2), (2,4), (4,2)}

Tengo dificultades para tratar de entender la condición 3

Agradecería si alguien pudiera brindarme orientación.

Gracias

Entonces, ¿quiere decir que para el segundo conjunto, (1,2) y (2,1) no están dentro del conjunto y, por lo tanto, no son simétricos?

Entonces, ¿quiere decir que para el segundo conjunto, (1,2) y (2,1) no están dentro del conjunto y, por lo tanto, no son simétricos?

MattAllegro · Answer 1

La primera seguramente no es una relación de equivalencia ya que no es reflexiva: $(4,4)$ no pertenece, esto es $4$ ~ $4$ es falso, esto es $x$ ~ $x$ para todos $x$ Es falso.
El segundo es exactamente como lo escribiste en tu comentario: $(1,2)$ pertenece a la relación, $(2,1)$ no lo hace, por lo tanto, la propiedad simétrica falla.
Tercero: tenemos los pares $(3,2)$ y $(2,4)$ , pero no $(3,4)$ . Por lo tanto no es cierto que
$x$ ~ $y\ \&\ y$ ~ $z\ \Rightarrow\ x$ ~ $z\quad \forall\,x,y,z$ (no transitivo).

¿Todo bien al respecto? ;)