¿Por qué un operador de simetría conmuta con el hamiltoniano?

Supongamos que un operador de simetría O deja el hamiltoniano H sin alterar. De los libros sé que debe haber la relación O H = H O . Pero no entiendo porque no es eso H = H O ya que cuando el operador actúa sobre una función de onda tenemos H ψ = H ( O ψ ) (El efecto del hamiltoniano antes y después O actúa sobre la función de onda es la misma). ¿Alguien puede explicarlo?

Explique su última afirmación: ¿Por qué debería H ψ = H ( O ψ ) ?
El efecto del hamiltoniano antes y después O actúa sobre la función de onda es la misma.
Tu intuición detrás de proponer H ψ = H ( O ψ ) es que si O es una simetría entonces debería dejar la función de onda invariante?
Posiblemente. No sé.

Respuestas (4)

Si O es una simetría y ψ es un estado propio de energía, entonces O ψ también debería ser un estado propio de energía (con el mismo valor propio mi ).

Con la ecuación que propones, H O = H , tenemos :

H O ψ = H ψ = mi ψ ≠ mi O ψ

Por otro lado, con H O = O H , tenemos :

H O ψ = O H ψ = mi O ψ
entonces O ψ ciertamente tiene energía mi .

Esta confusión probablemente se deba a un lenguaje descuidado: el O en [ H , O ] = H O − O H = 0 por una "simetría" O no es en realidad la simetría, es el generador de simetría (o "simetría infinitesimal") - el operador unitario de un parámetro tu O ( ϵ ) = mi i O ϵ asociado a O a través del teorema de Stone es el operador de simetría real (en el sentido del teorema de Wigner que dice que todas las simetrías son (anti-) unitarias y O es hermitiano, no unitario) para el cual el hamiltoniano es "invariable" como en

tu O ( ϵ ) H tu O ( ϵ ) † = H .
Esta es ahora realmente la afirmación de que la simetría deja invariante al hamiltoniano y debería ser nuestra definición real de lo que significa que un operador sea una simetría. Esta ecuación, a su vez, implica para el generador que [ H , O ] = 0 (por ejemplo, mediante la aplicación de la fórmula BCH ).

¿Por qué dices que el O en la pregunta debe referirse al generador y no a la simetría? El propio operador de simetría ( tu en su notación) también satisface [ H , tu ] = H tu − tu H = 0 .
@Noiralef Tienes razón, pero lo veo como un "accidente", no como deberías pensarlo : en un nivel más abstracto (es decir, pensando en álgebras y grupos de simetría y no como sus realizaciones concretas en un espacio de Hilbert), el conmutador/corchete de mentira es una operación en el nivel del álgebra, y la acción de tu en H es la acción conjunta de un elemento de grupo en el álgebra ( H está en el álgebra porque es en sí mismo un generador de traducción del tiempo). Esta acción adjunta se convierte en un conmutador solo cuando se expresa todo como matrices/operadores concretos.
Veo tu punto, si O en la pregunta se suponía que era el operador de simetría, la relación se expresaría más generalmente en la forma O H O − 1 = H . Bueno, ahora OP tiene varias respuestas para elegir, dependiendo de lo que realmente quieran decir con O :-)

Podría ser instructivo mirar un ejemplo concreto. Consideremos L 2 ( R 2 ) , es decir, funciones de onda ψ ( X , y ) en el espacio 2D y el hamiltoniano H = ∂ X 2 + ∂ y 2 . Esperaríamos que esto sea simétrico bajo rotaciones del sistema de coordenadas, como la rotación de 90°

( O ψ ) ( X , y ) = ψ ( y , − X ) .

Evaluemos:

  • ( H ψ ) ( X , y ) = ψ 11 ( X , y ) + ψ 22 ( X , y ) (donde uso subíndices para denotar la derivada parcial con respecto al primer/segundo argumento)
  • ( H O ψ ) ( X , y ) = ψ 22 ( y , − X ) + ψ 11 ( y , − X )

Estos no son lo mismo y la razón es que las dos funciones H ψ y H O ψ "en vivo" en diferentes sistemas de coordenadas. Entonces, lo que realmente queremos comparar H O ψ a es

  • ( O H ψ ) ( X , y ) = ψ 11 ( y , − X ) + ψ 22 ( y , − X )

Un próximo ejercicio útil podría ser tratar de ver dónde falla el hamiltoniano. H 2 = ∂ X 2 , que no es rotacionalmente simétrica.

La confusión puede deberse a que en la física clásica, el hamiltoniano es una función escalar del estado, y una transformación de simetría en el estado deja invariante al hamiltoniano . Sin embargo, el operador cuántico H no es una función escalar pero mapea un vector de estado a otro vector (en el espacio de Hilbert). H determina la evolución de la función de onda a través de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

i ℏ d ψ d t = H ψ .
Dado que ψ es una solución de esta ecuación, todavía deberíamos tener una solución si la reemplazamos por la función de onda transformada O ψ en todo momento. De este modo,
i ℏ d ( O ψ ) d t = H O ψ .
Usando la ecuación original, el lado izquierdo aquí se reduce a O H ψ . Por lo tanto, la simetría conserva soluciones si O H = H O .

¿Por qué un operador de simetría conmuta con el hamiltoniano?
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