Confusión con respecto a los operadores de campo

La segunda cuantificación del campo escalar conduce a un álgebra de operadores de campo cuánticos

[ ϕ ( X ) , ϕ ( y ) ] = 0 ,     [ π ( X ) , π ( y ) ] = 0 ,     [ ϕ ( X ) , π ( y ) ] = i ℏ d ( X − y ) .
Donde los operadores de campo están dados por
ϕ ( X ) = ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 2 ω k ( a k mi i k X + a k † mi − i k X ) , π ( X ) = ∂ 0 ϕ ( X )
Estos están formados por dos términos de rotación contraria. Sin embargo, en muchas teorías corporales también he visto operadores de campo definidos como
ϕ ( X ) = 1 V ∑ k a k mi i k . X
Puedo entender por qué, fuera del contexto de la física relativista, eliminamos el requisito de la covarianza, pero también se eliminó el término de contrarrotación, por lo que esta definición tiene un álgebra completamente diferente. La primera definición parece una generalización de la X ^ -operador de un oscilador armónico 1D, mientras que este último parece una generalización del operador de creación a ^ .

Esto estaría bien, y podría aceptarlo como una elección de convención si no fuera por el hecho de que he visto funciones de Green definidas usando ambos. Las funciones verdes, tal como las entiendo, permiten el cálculo de productos de operador ordenados por tiempo al dar una forma general para la amplitud de medir diferentes valores de campo en diferentes momentos. Sin embargo, esto no parece aclararme por qué esta comprensión de la función de Green se combina con la última definición.

Claramente me he perdido algo importante, pero revisar los libros de texto relevantes no ha logrado descubrir qué es eso. Si alguien puede dar una explicación de qué es la función de Green y también explicar cómo se pueden reconciliar estas dos definiciones, se lo agradecería mucho.

Véase Feynman y Hibbs (1965), Quantum Mechanics and Path Integrals, capítulos 4 y 5.
No entiendo el punto que estás tratando de hacer sobre la función de Green. Es solo una cuestión de convención. ¿Ayudaría si en el contexto de la teoría de campos escribiera ϕ = ϕ + + ϕ − (ver P&S)? Obviamente ϕ , π obedecerá a diferentes relaciones de conmutación de ϕ + , ϕ − , pero están relacionados entre sí. Entonces ϕ + , ϕ − en el contexto de la teoría de campos será equivalente a ϕ , ϕ † en el contexto de muchos cuerpos.
De acuerdo, están relacionados, incluso trivialmente relacionados, pero los valores ⟨ T ϕ ( t ) ϕ ( t ′ ) † ⟩ son cantidades diferentes si tomas las diferentes definiciones, y estarás evaluando cantidades diferentes.

Respuestas (2)

No creo que la respuesta existente esté llegando al punto correcto. En cambio, te has topado con la diferencia clave entre la teoría cuántica de campos relativista y no relativista: siempre necesitas el término contrarrotante en la relatividad.

Por ejemplo, una partícula no relativista satisface mi = pag 2 / 2 metro , que tras la cuantificación da la relación de dispersión ω = k 2 / 2 metro . Cuando uno describe múltiples partículas de este tipo usando un campo, la ecuación de movimiento del campo de Heisenberg obedece formalmente a la ecuación de Schrödinger de una sola partícula, lo que significa que sus componentes de frecuencia satisfacen ω = k 2 / 2 metro . La suma de estos ( ω , k ) pares es lo que se realiza en la ecuación de la teoría de muchos cuerpos, con la dependencia del tiempo implícita en a k , asumiendo que estamos en la imagen de Heisenberg.

En relatividad, una relación como mi = pag 2 / 2 metro está prohibido porque no pone en pie de igualdad el tiempo y el espacio. La relación más simple que funciona es mi 2 = pag 2 + metro 2 que se convierte en la relación de dispersión ω 2 = k 2 + metro 2 . Para cada valor de k , hay dos valores válidos de ω , por lo que el operador de campo tiene dos términos. Esta duplicación de los valores de ω ocurre para cualquier relación de dispersión relativista.

(Por supuesto, debe tenerse en cuenta que la existencia de soluciones de frecuencia positiva y negativa no significa que la QFT relativista tenga partículas de energía positiva y negativa . Debido a los buenos trucos realizados durante la cuantificación, que difieren para los campos bosónico y fermiónico, puede hacer las soluciones de frecuencia negativa corresponden a partículas de energía positiva, a costa de invertir todas sus cargas. Es por eso que la QFT relativista predice la antimateria.)

Creo que el último párrafo es algo ingenuo. Restringir la energía para que sea positiva es perfectamente invariante de Lorentz y, de lo contrario, no tendríamos espectros de energía limitados desde abajo. El término "energía negativa" es realmente necesario para la microcausalidad (conmutación en la separación espacial). Justificar la microcausalidad es realmente complicado; Weinberg, por ejemplo, argumenta que se requiere para la invariancia de Lorentz de la S -matriz.
En la teoría no relativista no hay razón para requerir microcausalidad de los campos que uno usa para construir la densidad de interacción, por lo que uno puede salirse con la suya con un solo signo (es decir, que contenga sólo operadores de creación o aniquilación).

Es una cuestión de notación 4D versus 3D. El caso es que k X = − ω k t + k ⋅ X y ω k > 0 , de modo que dos términos ± k X son necesarios para cubrir ambos signos del prefactor de t en una solución válida de las ecuaciones de campo relativistas libres.

En el caso relativista, los términos de energía negativa deben tener operadores de creación como coeficientes para asegurar la causalidad.

En el caso no relativista, los términos de energía negativa deben eliminarse para tener equivalencia entre la primera y la segunda descripción cuantificada.

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