¿Por qué las cuasipartículas no se descomponen en un sistema finito en una aproximación de fase aleatoria?

He intentado aplicar la receta convencional para calcular la parte de energía propia de los electrones Σ en la aproximación de fase aleatoria (RPA) al caso de sistema finito y obtenido I metro Σ = 0 , es decir, que la cuasipartícula no se descomponga.

Detalles:

Tomemos las fórmulas para la parte de autoenergía en el caparazón Σ ( k , ξ k ) de GD Mahan, "Física de muchas partículas" (1993), páginas 396-397:

ingrese la descripción de la imagen aquíAquí PAG ( 1 ) ( q , i ω ) es la polarizabilidad del gas de electrones y ε R PAG A ( q , i ω ) = 1 − v q PAG ( 1 ) ( q , i ω ) es la función dieléctrica. Como se dice en estas páginas, Σ ( k , ξ k ) es una suma de las contribuciones de línea y residuo, Σ = Σ ( yo i norte mi ) + Σ ( r mi s ) . Además, Σ ( yo i norte mi ) es una cantidad real por lo que parte imaginaria de Σ viene solo de Σ ( r mi s ) .

¿Qué pasa si el sistema es finito?

En este caso, las energías de un solo electrón ξ k y ξ k + q son discretos, y la polarizabilidad se puede calcular como

PAG ( 1 ) ( q , i ω ) = 1 V ∑ k norte F ( ξ k ) − norte F ( ξ k + q ) i ω + ξ k − ξ k + q .
Como se vio, PAG ( 1 ) ( q , i ω ) tiene singularidades en las energías discretas i ω = ξ k + q − ξ k . Luego, las cantidades
PAG ( 1 ) ( q , ξ k + q − ξ k ) ε R PAG A ( q , ξ k + q − ξ k ) = 1 [ PAG ( 1 ) ( q , ξ k + q − ξ k ) ] − 1 − v q
entrando Σ ( r mi s ) son solo − 1 / v q y son puramente reales, porque [ PAG ( 1 ) ] − 1 → 0 en los puntos de singularidad.

Entonces obtenemos: I metro Σ ( k , ξ k ) = I metro Σ ( r mi s ) ( k , ξ k ) = 0 lo que significa que se desvanece la tasa de descomposición de una cuasipartícula. ¿Es este resultado físicamente razonable en el caso de un sistema finito?

Creo que algo está mal aquí. Las cuasipartículas aún deberían descomponerse.
@leongz Estoy de acuerdo, pero no entiendo qué está mal. Tal vez la aproximación "on-shell", donde tomamos ω = ξ k en la energía propia en lugar de la energía vestida ξ k + R mi Σ ...

Respuestas (1)

Esto tiene sentido: solo puedes decaer en un continuo. Dicho de otra manera, un polo complejo implicaría que el peso espectral de la partícula en descomposición se extiende sobre una región finita del espacio energético. En un sistema finito, el espectro siempre consta de una suma finita de deltas de Dirac, nunca un continuo. Entonces, para ver el decaimiento, uno debe trabajar directamente en el límite continuo, o uno puede calcular la respuesta espectral para un sistema finito y ver cómo se acerca al límite continuo.

Es una pregunta interesante preguntar cómo surge el polo complejo del límite continuo como una secuencia de tamaños finitos del sistema. Matemáticamente, esto debería tener que ver con los cortes de ramas relacionados con la posibilidad de tener polos complejos (al menos en el contexto de las funciones de Green), y dado que los cortes de ramas pueden verse como un continuo de polos, está claro que solo pueden surgen en el límite termodinámico de un sistema.

Si uno prefiere las ecuaciones, considere que la función de Green para un sistema finito es siempre de la forma

GRAMO ^ ( mi ) = ( mi − H ^ ) − 1 = ∑ norte | norte ⟩ ⟨ norte | mi − mi norte
donde la suma es finita . Por lo tanto, la continuación analítica es trivial:
GRAMO ^ ( z ) = ∑ norte | norte ⟩ ⟨ norte | z − mi norte .
¡Es trivial ver que esto no tiene polos complejos! Sin embargo, si la suma es infinita, entonces la última expresión ya no es necesariamente una expresión analítica. La función analítica de Green tendrá genéricamente (una) ramificación(es) a lo largo del eje real, y pueden existir polos complejos fuera del eje real.

¿Por qué las cuasipartículas no se descomponen en un sistema finito en una aproximación de fase aleatoria?
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