Relación entre la función de Green menor y la función de Green mayor en el formalismo de Keldysh

TL;DR En general, no.

Sigue una discusión más larga pero posiblemente irrelevante. Consultando la revisión clásica RevModPhys.58.323 de Rammer y Smith, las cantidades que está considerando se definen como (Ec. 2.5):

$$G^{<}(\boldsymbol x_1,t_1,\boldsymbol x_{1'},t_{1'})=\mp i\langle \psi^\dagger_{\mathcal H}(\boldsymbol x_{1'},t_{1'}) \psi_{\mathcal H}(\boldsymbol x_1,t_1)\rangle,$$

$$G^{>}(\boldsymbol x_1,t_1,\boldsymbol x_{1'},t_{1'})=- i\langle \psi_{\mathcal H}(\boldsymbol x_1,t_1) \psi^\dagger_{\mathcal H}(\boldsymbol x_{1'},t_{1'}) \rangle,$$

dónde$\mathcal H$implica la imagen de Heisenberg, mientras que$(\boldsymbol x_1,t_1)$y$(\boldsymbol x_{1'},t_{1'})$son en este punto completamente generales.

En equilibrio térmico estas funciones dependen sólo de las variables relativas, es decir,$t_1 - t_{1'}$y$\boldsymbol x_1 - \boldsymbol x_{1'}$. Una consecuencia bien conocida de esto es la relación relativa a las transformadas de Fourier de las funciones de Green menor y mayor, Eq. 2.65,

$$\tilde G^{<}(E) = e^{-\beta E}\tilde G^{>}(E).$$ Esta relación se mantiene básicamente ya que el hamiltoniano en diferentes momentos conmuta consigo mismo en un estado de equilibrio (también conocido como condición límite de Kubo-Martin-Schwinger ).

Sin embargo, si el hamiltoniano no conmuta consigo mismo, lo que depende del tipo de perturbación considerada, esta relación obviamente ya no es válida.

Dependiendo de la perturbación, debería ser posible encontrar relaciones similares (que ahora deberían depender de las variables promedio$t_1 + t_{1'}$etc.), aunque no he podido encontrar una referencia para ilustrar este punto. En cualquier caso, tales relaciones implicarían una expansión perturbativa y, que yo sepa, no existe una relación general simple.

Para que conste, existe una "relación general" entre$G^{<}(t,t')|_{t'=t}$y$G^{>}(t,t')|_{t'=t}$, es decir, cuando se evalúan "en tiempos iguales". Se lee

$$G^{R}(t,t) - G^{A}(t,t) = G^{>}(t,t) - G^{<}(t,t) = -i,$$ y es esencialmente una consecuencia de los operadores no conmutantes, ya que $G^{>}(t,t) - G^{<}(t,t) = -i\langle a a^{\dagger} - a^{\dagger}a \rangle$. Es muy importante tener en cuenta esta relación al derivar ecuaciones de movimiento para las funciones de Green. Tenga en cuenta que $G^{R}(t,t') - G^{A}(t,t') = G^{>}(t,t') - G^{<}(t,t')$siempre aguanta.