Regularizando la función de Green en 2D

La función de Green para la ecuación 2D de Helmholtz satisface la siguiente ecuación:

$$(\nabla^2+k_0^2+\mathrm{i}\eta)\,{\mathsf{G}}_{2\mathrm{D}}(\mathbf{r}-\mathbf{r}',k_o)=\delta^{(2)}(\mathbf{r}-\mathbf{r}').$$

Mediante la transformación de Fourier de la función de Green y el uso de la representación de onda plana para la función Dirac-delta, es bastante fácil mostrar (utilizando la integración de contorno básica) que la función de Green 2D está dada por

$${\mathsf{G}}_{2\mathrm{D}}(\mathbf{r}-\mathbf{r}',k_0)=\displaystyle\lim_{\eta\to0}\int\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{k}}{(2\pi)^2}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{k_0^2+\mathrm{i}\eta-k^2}=\frac{1}{4\mathrm{i}}\operatorname{H}_0^{(1)}\left(k_0|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\right)$$

dónde$\operatorname{H}_0^{(1)}$es la función de Hankel de orden cero y primera clase.

Sin embargo, esta función de Green 2D diverge (logarítmicamente) en$\mathbf{r}=\mathbf{r}'$. Por lo tanto, si queremos que esté bien definido para$\mathbf{r}=\mathbf{r}'$, se puede introducir una función de corte gaussiana como esta

$$\tilde{{\mathsf{G}}}_{2\mathrm{D}}(\mathbf{r}-\mathbf{r}',k_0)=\displaystyle\lim_{\eta\to0}\int\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{k}}{(2\pi)^2}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{k_0^2+\mathrm{i}\eta-k^2}\mathrm{e}^{-\frac{a^2k^2}{2}}$$

dónde$a$es algún parámetro de corte.

Pregunta : ¿Cómo evalúas esta integral?