Referencias para grupos afines de RnRn\mathbb R^n [cerrado]

El grupo afín${\rm Aff}(V)$para un espacio vectorial$V$está dada por definición por$GL(V)\ltimes V$. Es fácil ver que es isomorfo al grupo de transformaciones afines $L_{A,v}\colon V\rightarrow V, \; x\mapsto Ax+v$. ¿Cuál es su álgebra de Lie?

Recuerde que el producto semidirecto$\mathfrak{g} \ltimes V$con álgebra de mentira abeliana$V$se convierte en un álgebra de mentira por

$$\begin{align*} [(x,v),(y,w)] & = ([x,y], D(x)(w)-D(y)(v)), \end{align*}$$ para$x,y\in \mathfrak{g}$y$v,w\in V$y una representación$D\colon \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{gl}(V)$.

Para$\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(V)$y$D={\rm id}$obtenemos el álgebra de Lie

$$\mathfrak{aff} (V):=\mathfrak{gl}(V)\ltimes V$$ con soporte de mentira$[(A,v),(B,w)]=([A,B], Aw-Bv)$. identificando$V$con$\Bbb R^n$, obtenemos que$\mathfrak{aff}(V)$es isomorfa a la siguiente subálgebra de$\mathfrak{gl}_{n+1}(\Bbb R)$: $$\mathfrak{aff} (V) \cong \left \{ \begin{pmatrix} A & v \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid A \in M_n(\Bbb R),\, v\in \Bbb R^n \right \}.$$ El corchete de mentira aquí está dado por el conmutador de matrices,

$$\Bigl[ \begin{pmatrix} A & v \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} B & w \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Bigr] = \begin{pmatrix} [A,B] & Aw-Bv \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$