Curvatura seccional de un Grupo de Lie compacto

Una métrica invariante a la izquierda en$G$está dada por una métrica en${\frak g}=T_e(G)$que se extiende al espacio tangente$T_x(G)$en el punto$x$por invariancia a la izquierda. La métrica así obtenida es bi-invariante si y solo si la métrica$g$en$\frak{g}$es invariante bajo los automorfismos$Ad(x)$de$\frak{g}$, para todos$x\in G$. Esto implica (y es equivalente a si$G$conectado) que$g$es invariante bajo los mapas$ad(X)\colon Y \mapsto [Y,X]$, eso es

$$g([Z,X], Y) + g(Z, [Y,X])=0$$ para todos$X$,$Y$,$Z$en$\frak{g}$

Aplicar la igualdad anterior para$Z =[X,Y]$.