¿Referencia para el teorema? Desigualdad de integrales de función creciente sobre dos distribuciones

Question

¿Referencia para el teorema? Desigualdad de integrales de función creciente sobre dos distribuciones

habitual

Tengo una función creciente monótona. $H(x)$ y dos distribuciones con CDF $F_1$ y $F_2$ , dónde $F_1(x) \leq F_2(x)$ en todos lados. el dominio es $[0,\infty)$ .

Esto parece que debe ser cierto:

\int_{0}^{\infty} H (X) d F_{1} \geq \int_{0}^{\infty} H (X) d F_{2}

$\int_0^{\infty} H(x) dF_1 \geq \int_0^{\infty} H(x) dF_2$

Una intuición es: en todas partes que $F_2$ tiene más masa/densidad que $F_1$ se puede mapear "hacia la derecha" a un lugar donde $F_1$ tiene esta misma cantidad más de $F_2$ ; y la contribución a la integral será mayor en el último caso porque $H$ esta incrementando.

Pero esto parece un poco molesto de formalizar; ¿Hay una prueba fácil o un nombre para el teorema (o referencia/libro de texto)? ¡Gracias!

Nate Eldredge

en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_ordering

habitual

@Nate, OK, gracias, esta es la primera "caracterización" en la página. Intentaré encontrar una prueba y referencia usando estas palabras clave.

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¿Referencia para el teorema? Desigualdad de integrales de función creciente sobre dos distribuciones

@Nate, OK, gracias, esta es la primera "caracterización" en la página. Intentaré encontrar una prueba y referencia usando estas palabras clave.

habitual · Answer 1

Como dijo Nate Eldredge en el comentario, esta condición se llama dominancia estocástica y mi afirmación es cierta.

¿Referencia para el teorema? Desigualdad de integrales de función creciente sobre dos distribuciones

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Nate Eldredge

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∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\parcial u(tx)}{\parcial x_i}\right|dt para u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )

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