probar que una integral está entre 2 valores

estoy tratando de probar que:

mi 2 ≤ ∫ 1 2 2 mi X 3 X d X ≤ mi 2 4

Intenté construir el comienzo integral tanto desde

1 / 2 < X < 2
así como el uso de los valores máximo y mínimo de la función 3x y por lo tanto
3 / 2 < 3 X < 6
pero no pude hacerlo.

¿Algunas ideas? Gracias

Respuestas (1)

Basta con mostrar

mi 3 ≤ mi X 3 X ≤ mi 2 6
para todos X ∈ [ 1 / 2 , 2 ] , ya que el intervalo tiene una longitud 3 / 2 .

Puedes hacer esto mostrando que mi X / ( 3 X ) tiene un mínimo local en X = 1 y aumenta a medida que se aleja de X = 1 en cualquier dirección. El máximo se alcanza en X = 2 .

Gracias por tomarte el tiempo de responder a esto.
@angryavian ¿es esto porque las integrales preservarán la monotonicidad? También podemos ver que el máximo alcanzado está en el valor de entrada máximo como mi es una función estrictamente creciente? es decir, X 1 < X 2 implica mi X 1 < mi X 1 ya que estamos en los reales positivos.
@HossienSahebjame La función no aumenta estrictamente debido a la 1 / X término.
@angryavian aha buena captura gracias!!
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