¿Puedo probar esta desigualdad solo con herramientas elementales?

Dejar Ω ∈ R 2 ser un dominio acotado, ∀ a , b , C ∈ R , espero probar que existe una constante positiva α tal que:

∫ Ω ( a X 2 + b ) 2 + ( − a X 1 + C ) 2 ⩾ α a 2
dónde α es independiente en a , b , C . Realmente espero una prueba directa en lugar de la prueba por contradicción.

Respuestas (2)

dividiendo por a 2 , la integral es igual a

∫ Ω ‖ X − METRO ‖ 2 d m ( X )
dónde METRO = ( C / a , − b / a ) y X = ( X 1 , X 2 ) . Esta integral es mínima cuando METRO es el centro de masa del dominio
GRAMO = 1 m ( Ω ) ∫ Ω X d m ( X )
porque ‖ X − METRO ‖ 2 = ‖ X − GRAMO ‖ 2 + 2 ( X − GRAMO ) ⋅ ( GRAMO − METRO ) + ‖ GRAMO − METRO ‖ 2 y ∫ Ω ( X − GRAMO ) d m ( X ) = 0 , por eso
∫ Ω ‖ X − METRO ‖ 2 d m ( X ) = ∫ Ω ‖ X − GRAMO ‖ 2 d m ( X ) + m ( Ω ) ‖ GRAMO − METRO ‖ 2
Resulta que
α = ∫ Ω ‖ X − GRAMO ‖ 2 d m ( X )

Pista: Expandiendo los cuadrados de la izquierda obtienes a 2 t + a s + r con t , r > 0 y s ∈ R . Lo que queda es demostrar que ( a 2 t + a s + r ) / a 2 tiene un valor mínimo positivo. Es fácil calcular el mínimo exacto de esta expresión y ver que el mínimo es positivo si s 2 < 4 r t . Esta desigualdad es una fácil consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y les dejo los detalles a ustedes. [ b X 2 + C X 1 ≤ b 2 + C 2 X 1 2 + X 2 2 ]

¿Puedo probar esta desigualdad solo con herramientas elementales?
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